上海师范大学：《线性代数》课程教学资源 Linear Algebra（讲稿，4/4）

上海饰烧大筝行列式大于0的对称矩阵不一定正定Shanghai Normal University上述定理的逆命题并不一定正确。比如考察下列矩阵0002002-1其行列式=4>0，但是我们有：<000525

行列式大于 0 的对称矩阵不一定正定 上述定理的逆命题并不一定正确。比如考察下列矩阵：     −1 0 0 0 0 2 0 2 −1     其行列式 = 4 > 0，但是我们有： h 1 0 0i     −1 0 0 0 0 2 0 2 −1         1 0 0     = −1 < 0 525

顺序主子式上海饰烧大筝Shanghai NormalUniversit定义214[顺序主子式（LeadingPrincipalMinors)]给定一个nxn的矩阵a11a12aina21a22a2nA=:::.anian2ann则对任意的kE[n]。定义下列行列式a11a12aika21a22a2kAk=:8akiak2akk是A的一个k阶顺序主子式(LeadingPrincipalMinors)526

顺序主子式 定义 214 [顺序主子式 (Leading Principal Minors)]. 给定一个 n × n 的矩阵： A =        a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann        则对任意的 k ∈ [n]。定义下列行列式： ∆k =            a11 a12 · · · a1k a21 a22 · · · a2k . . . . . . . . . . . . ak1 ak2 · · · akk            是 A 的一个 k 阶顺序主子式 (Leading Principal Minors). 526

上海饰烧大筝对称矩阵正定性的判定方法Shanghai Normal University定理215.给定一个n×n的对称矩阵S,S是正定的当且仅当所有的顺序主子式△k>0直观理解直观上来讲，当每个顺序主子式都大于0时，我们有：Ak入k=△k-1这里可以不妨假设△。=1527

对称矩阵正定性的判定方法 定理 215. 给定一个 n × n 的对称矩阵 S，S 是正定的当且仅当所有的顺序主子式 ∆k > 0. 直观理解 直观上来讲，当每个顺序主子式都大于 0 时，我们有： λk = ∆k ∆k−1 这里可以不妨假设 ∆0 = 1. 527

定理215的证明（0)上海饰境大学Shanghai Normal University令$1S1kSk:SkkSl则我们有：Ak=det(Sk)）.我们先证（←）方向，即说明每个Sk都是正定的。令X=(x1,...,xk)ERk/(O]注意到:X1Xk>00X1..0从而Sk正定，因此△k=det(Sk）)>0528

定理215的证明 (I) 令 Sk =     s11 · · · s1k . . . . . . . . . sk1 · · · skk     则我们有：∆k = det(Sk). 我们先证 (⇐) 方向，即说明每个 Sk 都是正定的。令 x = (x1, · · · , xk) ∈ R k \ {0}，注意到： h x1 · · · xk i Sk     x1 . . . xk     = h x1 · · · xk 0 · · · 0 i S              x1 . . . xk 0 . . . 0              > 0 从而 Sk 正定，因此 ∆k = det(Sk) > 0. 528

上海饰烧大筝定理215的证明（Il）Shanghai Normal University另一个方向我们使用归纳法。BASE:n=1时是显然的。INDUCTION：现在考虑n≥2的时候，我们有对于任意的ke[n]:s11s11..:SikS12S12S1kS125210S1kS21S2k -S21$22..S2k$22...S11S11Ak=...+++:.1+...0S1kS12SikSk10$k1Sk2SkkSk2Skk$11Si1对任意的2≤i,≤k定义：SitsliSiisiltu=stjsii$11S11529

定理215的证明 (II) 另一个方向我们使用归纳法。 BASE: n = 1 时是显然的。 INDUCTION: 现在考虑 n ⩾ 2 的时候，我们有对于任意的 k ∈ [n]: ∆k =            s11 s12 · · · s1k s21 s22 · · · s2k . . . . . . . . . . . . sk1 sk2 · · · skk            =            s11 s12 · · · s1k 0 s22 − s12s21 s11 · · · s2k − s1ks21 s11 0 . . . . . . . . . 0 sk2 − s1ks12 s11 · · · skk − s1ksk1 s11            对任意的 2 ⩽ i, j ⩽ k 定义： tij = sij − s1is1j s11 (= sij − s1isj1 s11 ) 529