正定性的定义上海饰境大学Shanghai Normal University通过上述的讨论，我们可以把正定的概念扩充到任何一个实矩阵上去。定义211.给定一个n×n的实矩阵A，如果对任意向量xERn/(0)1.xTAx>0，则称A是正定的。2.xTAx≥0.则称A是半正定的。3.xTAx<0，则称A是负定的。4xTAX≤0，则称A是半负定的。5.若不满足以上任何一种条件，则称矩阵A是不定的。515
正定性的定义 通过上述的讨论，我们可以把正定的概念扩充到任何一个实矩阵上去。 定义 211. 给定一个 n × n 的实矩阵A，如果对任意向量 x ∈ R n \ {0}： 1. x TAx > 0，则称 A 是正定的。 2. x TAx ⩾ 0，则称 A 是半正定的。 3. x TAx < 0，则称 A 是负定的。 4. x TAx ⩽ 0，则称 A 是半负定的。 5. 若不满足以上任何一种条件，则称矩阵 A 是不定的。 515
上海饰烧大筝非对称矩阵的特征值Shanghai Normal University我们需要注意的是，对于非对称矩阵来说，即使其所有的特征值大于0，它也不一定是正定的。考虑下列的例子：110002不难验证，其特征值为1,2。但是我们有：[-1 10=12-100=-97<0516
非对称矩阵的特征值 我们需要注意的是，对于非对称矩阵来说，即使其所有的特征值大于 0，它也不一定是正定 的。考虑下列的例子： " 1 100 0 2 # 不难验证，其特征值为 1, 2。但是我们有： h −1 1i " 1 100 0 2 # "−1 1 # = 1 + 2 − 100 = −97 < 0 516
二次型的转化上海师玩大学山Shanghai NormalUniversit通过上述的证明，可以看到，对参数作一些变换可以使得对应的二次函数变得简单：xTSX=S1ixi+...+SnnX+2Z1<ij<nSijxXixj·令x=QTy后我们有：'sx=iyi+.+Any我们将后者这种只含平方项的二次型为标准二次型，特别的，如果其系数进一步化简为1,1，···，1，1,..·，-1，我们称其为规范二次型。517
二次型的转化 通过上述的证明，可以看到，对参数作一些变换可以使得对应的二次函数变得简单： • x TSx = s11x 2 1 + · · · + snnx 2 n + 2 P 1⩽i̸=j⩽n sijxixj • 令 x = QTy 后我们有： x TSx = λ1y 2 1 + · · · + λny 2 n 我们将后者这种只含平方项的二次型为标准二次型，特别的，如果其系数进一步化简为 1, 1, · · · , 1, −1, · · · , −1，我们称其为规范二次型。 517
二次型的转化-对角化（0)上海饰烧大筝Shanghai Normal Universit定理209的证明已经给了我们一种转化二次型的方法，即找对应矩阵的谱分解。以下列二次函数为例：f(x1,x2,X3)=-2x1x2+2x1X3+2x2x3其对应的对称矩阵为：10-1 1S=-10101将其进行谱分解，贝则存在正交矩阵P和对角矩阵八使得方[-岁-方方元0-11C芳美01A=PISP:0之-1大0元方大101000518
二次型的转化-对角化 (I) 定理209的证明已经给了我们一种转化二次型的方法，即找对应矩阵的谱分解。以下列二次 函数为例： f(x1, x2, x3) = −2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 其对应的对称矩阵为： S = 0 −1 1 −1 0 1 1 1 0 将其进行谱分解，则存在正交矩阵 P 和对角矩阵 Λ 使得 −2 0 0 0 1 0 0 0 1 = Λ = P TSP = − √ 1 3 − √ 1 3 √ 1 3 − √ 1 2 √ 1 2 0 √ 1 6 √ 1 6 √ 2 6 0 −1 1 −1 0 1 1 1 0 − √ 1 3 − √ 1 2 √ 1 6 − √ 1 3 √ 1 2 √ 1 6 √ 1 3 0 √ 2 6 518
二次型的转化-对角化（II）上海饰烧大学Shanghai Normal University从而令：名方x1-y1美大X2y2新0y3x3我们有：f=-2yi+y2+y3如果要进一步变成规范型，我们只需要在令221yi=y2=Z2(y3 = z3即有：f=-2i+22+23519
二次型的转化 -对角化 (II) 从而令： y 1 y 2 y 3 = − √1 3 − √1 2 √1 6 − √1 3 √1 2 √1 6 √1 3 0 √2 6 x 1 x 2 x 3 我们有： f = − 2 y 21 + y 22 + y 23 如果要进一步变成规范型，我们只需要在令： y1 = √1 2 z 1 y 2 = z 2 y 3 = z 3 即有： f = − z 21 + z 22 + z 23 519