第九章函数项级数在对函数作Taylor展开时，自然就出现了以函数为一般项的无穷级数，下面我们就来研究这种级数的敛散性81一致收敛设I为区间，gn(r))为I上一列函数如果存在I上函数g(r)使得lim 9n(ro) =g(ro), V zo E I,则称（gn）收敛于g，记为lim9n=g.例19n()=z",E(0,1).因为对任意固定的oE(0,1),均有lim a = 0,故lim9n=0.定义(一致收敛）如果任给ε>0,均存在与EI无关的正整数N=N(e)，使得当n>N时(*)Ign(α) -g(r)I <e, E I,则称（9n）在I上一致收敛于9，记为9n=9显然，一致收敛→收敛。一致性体现在（*）式对于充分大的n和任意均成立例1中（9n）不是一致收敛的（why?)，例2 设gn(a)=1+n[-1,1]讨论(on)的收敛性解当0<≤1时[el国1I9n(α) - 0| =[1+n2=2n=2n上式对=0也成立。因此{9n}在[-1,1]上一致收敛于0定理1设（9nl在区间I上一致收敛于9，如果9m均为连续函数，则g也是连续函数1
0?h 5T];T ,H=( Taylor s2, $&l_xH=Rvd%X W=. \ ÆW lxpk W=%-k. §1 `jRF 0 I R!\, {gn(x)} R I .vH=. +F I .H= g(x) 4$ limn→∞ gn(x0) = g(x0), ∀ x0 ∈ I, {gn} : g, YR limn→∞ gn = g. D 1 gn(x) = x n , x ∈ (0, 1). |R,(zB*% x0 ∈ (0, 1), r limn→∞ x n 0 = 0, @ limn→∞ gn = 0. 1c (`jRF) +F(; ε > 0, r x ∈ I XC%= N = N(ε), 4$! n > N 2 |gn(x) − g(x)| < ε, ∀ x ∈ I, (∗) {gn} I .v: g, YR gn ⇒ g. ^&, v: ⇒ :. vkG_ (*) 5,5 % n I(z x r ~. } 1 {gn} 8v:% (why?). D 2 0 gn(x) = x 1 + n2x2 , x ∈ [−1, 1]. C {gn} %:k. > ! 0 < |x| ≤ 1 2 |gn(x) − 0| = |x| |1 + n2x 2 | ≤ |x| 2n|x| = 1 2n , .5, x = 0 u~. | {gn} [−1, 1] .v: 0. 1C 1 0 {gn} !\ I .v: g, +F gn rRmH=, g u 8mH=. 1
证明任取oEI.我们要证明g在o处连续任给>0.由一致收敛定义,3正整数N=N(e),使得n>N时<e,Vrel.Ign(r) - g(r)| <3取定no=N+1,由于9no在I上连续故日=8(e)>0使得I9no(n)- gno(ro)<, Vre (ro -0, ro+)n1.因此Ig() -g(ro)/ ≤ Ig() -9no(r)/ +Igno() -no(ro)l+lgno (ro) - g(ro)|E+=+E=e,VrE(To-o,ro+)nI3+3+3这说明g在ro处是连续的由一致收敛定义可得如下判别法，它不涉及极限9的具体形式：(Cauchy准则）定义在I上的函数列(gn)一致收敛台Vε>0,日N=N(e)使得当m,n>N时I9m(α) -gn(r)[<e, VEI现在，设fn())为一列函数，考虑形式和fn()，这种形式和称为函数n=1项级数.如果部分和Sn(a)=fi(ar)收敛，则称该函数项级数收敛；如果Sn(r)k=1一致收敛，则称该函数项级数一致收敛。根据上面的讨论，我们有：(1)如果fn均为连续函数，fn(a）一致收敛于S(a),则S(a）也是连续函n=1数;(2)fn(α)一致收敛台>0,N=N(e),使得n>N时0-1Ifn+i(r)+...+fn+p(r)/<e, VEI, Vp≥1.sinnc例3讨论在[0,2元】上的收敛性质nn=12
iL (# x0 ∈ I, W t g x0 m. (; ε > 0, v:* {, ∃ = N = N(ε), 4$ n > N 2 |gn(x) − g(x)| < ε 3 , ∀ x ∈ I. #* n0 = N + 1, gn0 I .m, @ ∃ δ = δ(ε) > 0 4$ |gn0 (x) − gn0 (x0)| < ε 3 , ∀ x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ I. | |g(x) − g(x0)| ≤ |g(x) − gn0 (x)| + |gn0 (x) − gn0 (x0)| +|gn0 (x0) − g(x0)| ≤ ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ I. > g x0 8m%. v:*{v$+\ 1, B /UT` g %oGj5: (Cauchy mf) *{ I .%H= {gn} v: ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N = N(ε), 4$! m, n > N 2 |gm(x) − gn(x)| < ε, ∀ x ∈ I. _ , 0 {fn(x)} RvH=, uj5I X∞ n=1 fn(x), j5IRH= dW=. +F5I Sn(x) = Xn k=1 fk(x) :, 8H=dW=:; +F Sn(x) v:, 8H=dW=v:. <n.Æ%C, W : (1) +F fn rRmH=, X∞ n=1 fn(x) v: S(x), S(x) u8mH =; (2) X∞ n=1 fn(x) v: ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N = N(ε), 4$ n > N 2 |fn+1(x) + · · · + fn+p(x)| < ε, ∀ x ∈ I, ∀ p ≥ 1. D 3 C X∞ n=1 sin nx n [0, 2π] .%:k . 2
sinn均收敛.下面说明它则是一存解前一章已说明对E[0,2元]，7nn=1A,不收敛的.事实上，取n=4nsin [sin(n + 1)量[S2n(an)-Sn(an)n+12n1sinT>n2V22n由Cauchy准不知收敛则是一存的有时，函数项级数的收敛判别定可从数项级数的收敛判别定自到，例如：X(1)如敛Ifn(a)I≤an，而充项级数an收敛,不fn(a）一存收敛。称是n=1n=1因为Ifn+1(cr) +...+ fn+p(α)/≤an+1+...+an+p,利用Cauchy准不即可设级数bn(a)的展函和 Bn(a)=(2)(Dirichlet)讠bk(r）一存有界，即n=1k=1M>0,使自[Bn(r)I ≤M, VrEI, Vn.P并且对每个aEI,(an(a))理于n单调,an(a)=0,不级数an(a)bn(ar)在In=1上一存收敛(2)的出明只要照于数项级数大的相应出明即可设级数bn()在I上一存收敛，且对每个EI,(an(a))理(3) (Abel)n=100于n单调,且在I上一存有界,不级数an(r)bn(a)在I上一存收敛n=1(3）的出明仍然是Abel变换的运用（当意和数项级数的则同之处)：Jan+1(r)bn+1(a)+..+an+p(a)bn+p(r)/≤3sup|anl:sup [bn+1(r)+.+bn+k(r)l.1<k<pA例4 级数Z(-1)-1=在r[0,1]上一存收敛nn=]3
> vw>, ∀ x ∈ [0, 2π], X∞ n=1 sin nx n r:. \Æ>B 8v :%. 73., # xn = π 4n , |S2n(xn) − Sn(xn)| = sin(n + 1) π 4n n + 1 + · · · + sin π 2 2n ≥ n · sin π 4 2n = 1 2 √ 2 . Cauchy " : 8v%. 2, H=dW=%: 1v=dW=%: 1$#. }+: (1) +F |fn(x)| ≤ an, /dW= X∞ n=1 an :, X∞ n=1 fn(x) v:. 8 |R |fn+1(x) + · · · + fn+p(x)| ≤ an+1 + · · · + an+p, |~ Cauchy " Vv. (2) (Dirichlet) 0W= X∞ n=1 bn(x) %5I Bn(x) = Xn k=1 bk(x) ve, V ∃ M > 0, 4$ |Bn(x)| ≤ M, ∀ x ∈ I, ∀n. , : x ∈ I, {an(x)} C n ), an(x) ⇒ 0, W= X∞ n=1 an(x)bn(x) I .v:. (2) %t=dW= %b}Vv. (3) (Abel) 0W= X∞ n=1 bn(x) I .v:, , : x ∈ I, {an(x)} C n ), I .ve, W= X∞ n=1 an(x)bn(x) I .v:. (3) %)&8 Abel O%~ (!zI=dW=% M): |an+1(x)bn+1(x)+· · · +an+p(x)bn+p(x)| ≤ 3sup |an| · sup 1≤k≤p |bn+1(x)+· · · +bn+k(x)|. D 4 W= X∞ n=1 (−1)n−1 x n n x ∈ [0, 1] .v:. 3
证明 an(n)= 2n, bn(a)=(-1)n-11, bn(a) =(-1)"-1 关于一致n'n0-10-1收敛而[an(r))≤1,V.对固定的a,an(a)=a"关于n单调故由Abel判别法知原级数一致收敛0000命题2设fn(a)和gn(a)一致收敛，入,μER.则(Afn(a)+μo1n=1n=19n(r))也一致收敛，且X(Afn(a) +μ- gn(r) =). fn(ar)+μgn(a).n=1n=1n=1证明用一致收敛的定义即可定理3(Dini）设gn(a)为[a,句]上非负连续函数，且对每个aE[a,b],bn(r)关于n单调趋于0则9m=0.证明（反证法）如果9n则一致收敛于0,则致在ε0>0以及ni<n2<...<nk<..使得n(n)≥e0, =1,2,.其中anE[a,b]。因为[a,b]是闭区间，故通过进一步取子列，我们可以假设Enk-roE[a,b].任给m，当k正分大时9m(rn)≥gn(n)≥E0,在上式中令k→80，则由9m的连续性，有9m(ro) ≥60.因为m是任取的，令m→80，则得到lim_9m(ro)≥0,这和我们的假设相矛盾推论设fn(a）为非负函数项级数，如果此级数收敛于连续函数f，则n=1必一致收敛于f.证明考虑部分和Sn(a)及连续函数列f(r)-Sn(r),应用Dini定理即可4
iL an(x) = x n , bn(x) = (−1)n−1 1 n , X∞ n=1 bn(x) = X∞ n=1 (−1)n−1 1 n C x v :. / |an(x)| ≤ 1, ∀ x. ,B*% x, an(x) = x n C n ). @ Abel 1W=v:. MU 2 0 X∞ n=1 fn(x) I X∞ n=1 gn(x) v:, λ, µ ∈ R. X∞ n=1 (λfn(x) + µ · gn(x)) uv:, X∞ n=1 (λfn(x) + µ · gn(x)) = λ · X∞ n=1 fn(x) + µ · X∞ n=1 gn(x). iL ~v:%*{Vv. 1C 3 (Dini) 0 gn(x) R [a, b] .47mH=, , : x ∈ [a, b], bn(x) C n ) 0, gn ⇒ 0. iL (21) +F gn v: 0, ε0 > 0 xU n1 < n2 < · · · < nk < · · · , 4$ gnk (xnk ) ≥ ε0, k = 1, 2, · · · . xnk ∈ [a, b]. |R [a, b] 8!\, @LGhvÆ##, W vx[0 xnk → x0 ∈ [a, b]. (; m, ! k 5 2, gm(xnk ) ≥ gnk (xnk ) ≥ ε0, .5 k → ∞, gm %mk, gm(x0) ≥ ε0. |R m 8(#%, m → ∞, $# lim m→∞ gm(x0) ≥ ε0, IW %[0b -. WI 0 X∞ n=1 fn(x) R47H=dW=, +FW=:mH= f, v: f. iL u5I Sn(x) UmH= f(x) − Sn(x), }~ Dini *{Vv. 4
82求和与求导、积分的可交换性80给定收敛的函数项级数fn(a)=f()，我们下面关心的问题是能否逐项n=1求积分以及逐项求导定理1(1)设(gnl在[a,bl上一致收敛于g.如果9n均为Riemann可积函数，则g也是Riemann可积函数，且blimlim, gn(r)dr =g(a)drgn(r)dr=-(2)设fn(a)在[a,]上一致收敛于f.如果 fn均为Riemann可积函数则f也是Riemanm可积函数，且Efn(a)da =Z / fn(a)dr =f(r)dr证明只要证明（1）即可.我们仅就9n均为连续函数这一简单情形加以证明。此时g=lim9n也是连续函数。由一致收敛的条件知，V>0，存在N=N(e),使得n>N时gn() -g()[ <e, V [a,b],从而9n(r)dr-g(ar)da(gn(z) - g(r)da(gn(r) - g(μr)da(b -a)e这说明n(r)drg(r)dr.对于一般可积函数的情形的证明也是类似的注由证明可以看出，(2）中函数项级数还满足下面的一致收敛性 / fn(t)dt = / f()dt.5
§2 N6eN.92/A=8^ ;*:%H=dW= X∞ n=1 fn(x) = f(x), W \ÆCi%VF86 d S5xU d ". 1C 1 (1) 0 {gn} [a, b] .v: g. +F gn rR Riemann vS H=, g u8 Riemann vSH=, limn→∞ Z b a gn(x)dx = Z b a limn→∞ gn(x)dx = Z b a g(x)dx. (2) 0 X∞ n=1 fn(x) [a, b] .v: f. +F fn rR Riemann vSH=, f u8 Riemanm vSH=, X∞ n=1 Z b a fn(x)dx = Z b a X∞ n=1 fn(x)dx = Z b a f(x)dx. iL t (1) Vv. W gl gn rRmH=v] jZx . 2 g = limn→∞ gn u8mH=. v:%J_, ∀ ε > 0, N = N(ε), 4$ n > N 2 |gn(x) − g(x)| < ε, ∀x ∈ [a, b]. / Z b a gn(x)dx − Z b a g(x)dx = Z b a (gn(x) − g(x))dx ≤ Z b a (gn(x) − g(x))dx ≤ (b − a)ε > limn→∞ Z b a gn(x)dx = Z b a g(x)dx. ,vvSH=% j%u8y@%. l vxt, (2) H=dW=N %\Æ%v:k X∞ n=1 Z x a fn(t)dt ⇒ Z x a f(t)dt. 5