正定矩阵上海饰烧大筝Shanghai Normal University定理209令S是一个实对称矩阵，则S是正定的，当且仅当对于所有的xERⅡ(O]，都有：xTSx>0xTSx是什么？令x=(x1,..,xn), S=su)，则我们有：xsx=$11xi+*+ Snnx2 +2 /Sijxixl≤itj≤n即xTAx是关于x1·，xn的一个二次齐次函数，我们称其为二次型（QuadraticForms)。510
正定矩阵 定理 209. 令 S 是一个实对称矩阵，则 S 是正定的，当且仅当对于所有的 x ∈ R n \ {0}，都有： x TSx > 0 x TSx 是什么？ 令 x = (x1, · · · , xn)，S = h siji n×n ，则我们有： x TSx = s11x 2 1 + · · · + snnx 2 n + 2 X 1⩽i̸=j⩽n sijxixj 即 x TAx 是关于 x1, · · · , xn 的一个二次齐次函数，我们称其为二次型 (Quadratic Forms)。 510
二次型上海饰境大学Shanghai NormalUniversit一般地，对于x1...，xn的一个二次齐次函数：f(x1,...,xn)=S11x+...+Snnx2+2Sujxixj1≤i≤n我们总可以将其转换成如下的矩阵形式S11S12SinS12S22S2nf(x1,...,xn)=xTSx,其中:x=XSinS21Snn这意味着我们总可以用一个实对称矩阵来表示一个关于x1,·.Xn的-个二次齐次函数。特别的，正定矩阵就是指的是那些恒大于0的二次型。511
二次型 一般地，对于 x1, · · · , xn 的一个二次齐次函数： f(x1, · · · , xn) = s11x 2 1 + · · · + snnx 2 n + 2 X 1⩽i̸=j⩽n sijxixj 我们总可以将其转换成如下的矩阵形式： f(x1, · · · , xn) = x TSx, 其中：x = x1 . . . xn , S = s11 s12 · · · s1n s12 s22 · · · s2n . . . . . . . . . . . . s1n s2n · · · snn 这意味着我们总可以用一个实对称矩阵来表示一个关于 x1, · · · , xn 的一个二次齐次函数。 特别的，正定矩阵就是指的是那些恒大于 0 的二次型。 511
定理209的一个应用上海饰境大筝Shanghai Normal Universit我们先来看一个简单的应用。定理210.令 A 是 m × n 的矩阵并且 rank(A)= n.则 S =ATA 是对称且正定的。证明.令xERn，则我们有：xTSx =xTAAx= (Ax)T(Ax) = Ax ·Ax = Ax2从而我们有：xTSx≥0并且：xTSX=0Ax=0AX=0由于rank(A)=n，从而：xTSX=0AX=0X=0口512
定理209的一个应用 我们先来看一个简单的应用。 定理 210. 令 A 是 m × n 的矩阵，并且 rank(A) = n. 则 S = ATA 是对称且正定的。 证明. 令 x ∈ R n，则我们有： x TSx = x TA TAx = (Ax) T (Ax) = Ax · Ax = kAxk 2 从而我们有：x TSx ⩾ 0 并且： x TSx = 0 ⇐⇒ kAxk = 0 =⇒ Ax = 0 由于 rank(A) = n，从而： x TSx = 0 =⇒ Ax = 0 ⇐⇒ x = 0 512
定理209的证明（0)上海饰烧大筝Shanghai Normal Universit我们先证（）方向。由于S是一个实对称矩阵，从而存在一个正交矩阵O满足：()0-=Q'SQ这里入1，·.：，入，是S的特征值，并且由假设：入>0定义：x=QTy,即:y=Qx从而：xsx=(Qy)Ts(Qy)=yTQTsQy=Aiyi +...+入nym注意到Q是可逆的，从而对于任意x≠0，我们有y=Qx≠0，即：xTsx=入iyi+...+入ny>0513
定理209的证明 (I) 我们先证 (⇒) 方向。由于 S 是一个实对称矩阵，从而存在一个正交矩阵 Q 满足： λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · λn = QTSQ 这里 λ1, · · · , λn 是 S 的特征值，并且由假设：λi > 0. 定义： x = QT y, 即：y = Qx 从而： x TSx = (Qy) TS(Qy) = y TQTSQy = λ1y 2 1 + · · · + λny 2 n 注意到 Q 是可逆的，从而对于任意 x 6= 0，我们有 y = Qx 6= 0，即： x TSx = λ1y 2 1 + · · · + λny 2 n> 0 513
上海饰烧大筝定理209的证明（II)4Shanghai Normal Universit另一方面，反设存在入；≤0，注意到：x'sx=aiyi+..+Anyn =Aiyr+ajy?jti从而令yi=1,yi=0(i≠0)，由矩阵的可逆性我们有x=Qy≠0，即xsx=?+,=入,≤0iti口与假设矛盾。514
定理209的证明 (II) 另一方面，反设存在 λi ⩽ 0，注意到： x TSx = λ1y 2 1 + · · · + λny 2 n = λiy 2 i + X j̸=i λjy 2 j 从而令 yi = 1, yj = 0(j 6= 0)，由矩阵的可逆性我们有 x = Qy 6= 0，即： x TSx = λiy 2 i + X j̸=i λjy 2 j = λj ⩽ 0 与假设矛盾。 514