上海饰烧大筝定理206的证明（IV）Shanghai Normal Universit令显然M是一个正交矩阵，并且我们有：0(PM)'SPM= M'pTSPM :0Λ从而令Q=PM,Λ我们有：=QTSQ并且有归纳假设，入上对角线的元素都是S的特征值。口505
定理206的证明 (IV) 令 M = " 1 0 T 0 P ′ # 显然 M 是一个正交矩阵，并且我们有： (PM) TSPM = MTP TSPM = " λ1 0 T 0 Λ′ # 从而令 Q = PM,Λ = " λ1 0 T 0 Λ′ # ，我们有： Λ = QTSQ 并且有归纳假设，Λ 上对角线的元素都是 S 的特征值。 505
对称矩阵的谱分解上海饰烧大筝Shanghai Normal Universit给定实对称矩阵S，由上述定理，存在正交矩阵Q和对角矩阵入使得S=QAQT入2令Q=q1q2...我们有：：入nqiq2入19i91+入29292+..+入nqnqq.即：实对称矩阵的谱分解（SpectralDecomposition）将其分解成了n个秩为1的矩阵之和。506
对称矩阵的谱分解 给定实对称矩阵 S，由上述定理，存在正交矩阵 Q 和对角矩阵 Λ 使得： S = QΛQT 令 Q = h q1 q2 · · · qn i ，Λ = λ1 λ2 . . . λn ，我们有： S = h q1 q2 · · · qn i λ1 λ2 . . . λn q T 1 q T 2 . . . q T n = λ1q1q T 1 + λ2q2q T 2 + · · · + λnqnq T n 即：实对称矩阵的谱分解 (Spectral Decomposition)将其分解成了n 个秩为 1的矩阵之和。 506
阶段总结上海饰烧大筝Shanghai Normal Universit我们讨论了n×n的实对称矩阵S。：其所有的特征值都是实数，并且都有着对应的实特征向量。：不同特征值对应的特征向量都是正交的。：任何一个实对称矩阵都可以被对角化，并且其谱分解可以写成n个秩为1的矩阵之和即：S=QT^Q=入19191+29292+...+入n9nq507
阶段总结 我们讨论了 n × n 的实对称矩阵 S。 • 其所有的特征值都是实数，并且都有着对应的实特征向量。 • 不同特征值对应的特征向量都是正交的。 • 任何一个实对称矩阵都可以被对角化，并且其谱分解可以写成 n 个秩为 1 的矩阵之和， 即： S = QTΛQ = λ1q1q T 1 + λ2q2q T 2 + · · · + λnqnq T n 507
对称矩阵和正定矩阵（SymmetricMatricesandPositiveDefiniteMatrices)正定矩阵
对称矩阵和正定矩阵 (Symmetric Matrices and Positive Definite Matrices) 正定矩阵
正的特征值上海饰境大筝Shanghai Normal University在很多应用中，所有特征值是正的对称矩阵起到了非常大的作用。定义207[PositiveDefiniteMatrix]个对称矩阵S被称为是正定矩阵，如果其所有的特征值入都满足入>0。例208.509
正的特征值 在很多应用中，所有特征值是正的对称矩阵起到了非常大的作用。 定义 207 [Positive Definite Matrix]. 一个对称矩阵 S 被称为是正定矩阵，如果其所有的特征值 λ 都满足 λ > 0。 例 208. " 1 0 0 4# , " 4 3 3 4# , 4 3 0 3 4 0 0 0 2 509