上海饰烧大筝任何一个实对称矩阵都可以对角化（0）Shanghai Normal University由上述定理我们可以直接得到：推论205.令S是一个n×n的实对称矩阵，如果S存在n个两两不同的特征值，则S可以对角化。更精确的说，存在一个正交矩阵Q和对角矩阵八使得：[入1入2=QTSQΛ=这里入1.入n都是S的特征值。而事实上，我们并不需要“n个两两不同的特征值“这个条件。500
任何一个实对称矩阵都可以对角化 (I) 由上述定理我们可以直接得到： 推论 205. 令 S 是一个 n × n 的实对称矩阵，如果 S 存在n 个两两不同的特征值，则 S 可以对角化。 更精确的说，存在一个正交矩阵 Q 和对角矩阵 Λ 使得： Λ = λ1 λ2 . . . λn = QTSQ 这里 λ1, · · · , λn 都是 S 的特征值。 而事实上，我们并不需要“n 个两两不同的特征值”这个条件。 500
上海饰烧大筝任何一个实对称矩阵都可以对角化（）Shanghai Normal University定理206令S是一个nxn的实对称矩阵，！则S可以对角化。更精确的说，存在一个正交矩阵Q和对角矩阵八使得[入入2Λ=SO入n这里入1，·，入n都是S的特征值。显然这是一个当且仅当的关系，因为另一个方向是显然成立的。501
任何一个实对称矩阵都可以对角化 (II) 定理 206. 令 S 是一个 n × n 的实对称矩阵，则 S 可以对角化。更精确的说，存在一个正交矩阵 Q 和对角矩阵 Λ 使得： Λ = λ1 λ2 . . . λn = QTSQ 这里 λ1, · · · , λn 都是 S 的特征值。显然这是一个当且仅当的关系，因为另一个方向是显 然成立的。 501
定理206的证明（0)上海饰境大学Shanghai NormalUniversit令S是一个n×n的实对称矩阵，我们对n作归纳。BASE：n=1时是显然的。INDUCTION:现在令n≥2。令S的一个特征值为入1ER，其对应的一个特征向量为XiERn\[0]。我们不妨可以假设×1l=1，否则我们可以令：X1X1[xi I通过Gram-Schmidt正交化，我们可以从x1扩展出一组标准正交基：X1.X2...X.满足：i=jXi·Xitj0502
定理206的证明 (I) 令 S 是一个 n × n 的实对称矩阵，我们对 n 作归纳。 BASE：n = 1 时是显然的。 INDUCTION: 现在令 n ⩾ 2。令 S 的一个特征值为 λ1 ∈ R，其对应的一个特征向量为 x1 ∈ R n \ {0}。我们不妨可以假设 kx1k = 1，否则我们可以令： x1 ← x1 kx1k 通过 Gram−Schmidt 正交化，我们可以从 x1 扩展出一组标准正交基： x1, x2, · · · , xn 满足： xi · xj = 1 i = j 0 i 6= j 502
定理206的证明(II)上海饰境大学Shanghai Normal University定义矩阵P:P=1 X2..不难验证P是正交矩阵，即PTP=I。并且我们有pTx; = e;从而：PTSP=PTs×1 X2 .. x[pTSx1PTSX2...PTSXn[pTA1X1PTSx2..PTSxn=A,PTX1PTSx2... PTSxnAiePTsx2...PTsxn这里aERn-1是一个列向量，B是一个(n-1)×(n-1)的矩阵。503
定理206的证明 (II) 定义矩阵 P: P = h x1 x2 · · · xn i 不难验证 P 是正交矩阵，即 P TP = I。并且我们有： p T xi = ei 从而： P TSP = P TS h x1 x2 · · · xn i = h P TSx1 P TSx2 · · · P TSxn i = h P Tλ1x1 P TSx2 · · · P TSxn i = h λ1P Tx1 P TSx2 · · · P TSxn i = h λ1e1 P TSx2 · · · P TSxn i = " λ1 a T 0 B # 这里 a ∈ R n−1 是一个列向量，B 是一个 (n − 1) × (n − 1) 的矩阵。 503
定理206的证明（川I）上海饰境大学Shanghai Normal Universit注意到：PTsTP=PTsF从而我们有a=0，并且B=BT.从而B是一个(n-1)×(n-1)实对称矩阵。由归纳假设我们可以对B进行对角化，即存在（n一1)×（n-1)的正交矩阵p和对角矩阵^使得"=(P)BP)从而我们有：504
定理206的证明 (III) 注意到： " λ1 0 T a B T # = "λ1 a T 0 B #!T = P TSPT = P TS TP = P TSP = " λ1 a T 0 B # 从而我们有 a = 0，并且 B = B T . 从而 B 是一个 (n − 1) × (n − 1) 实对称矩阵。由归纳假设， 我们可以对 B 进行对角化，即存在 (n − 1) × (n − 1) 的正交矩阵 P ′ 和对角矩阵 Λ′ 使得： Λ ′ = (P ′ ) TBP′ 从而我们有： P TSP = " λ1 0 T 0 B # = " λ1 0 T 0 (P ′ ) TBP′ # = " 1 0 T 0 P ′ # "λ1 0 T 0 Λ′ # "1 0 0 (P ′ ) T # 504