6第一章行列式00001-1...0000-1T.........:......Cn-2+Cn.0000-10..00000-1.3 + a13 + a2r + a32 + a1r + a2T + a1anan-1an-2...0-100..0000.......:.ci+rcj-!00-10..000-1...r" +aian-1+...+an-ir+ann-1 + aizn-2 +2 + air + a2+...+an2+an-1...+a100...-1000...=(r" + a1an-1 +. + an-12 + an)(-1)n+1:...0-10...-100...=(r" + a1a"-1 + .. + an-12 + an)(-1)n+1(-1)n-1=r" +aizn-1+..+an-1r +an.方法二。设法把-1全部变为0，得到一个下三角矩阵若T=0,则D,=an.等式成立若≠0，则0000a000-1T...C+1ci..:D.000-1...0n-1 + an...+ α1an-2a200002...00r...00ca+1e2:::：000..T-1an-2+ +an-1 +nan...a2+a1=..0000a..000r...0..一0000...an-2++P2P1an-1 +n...an这里,a3a.4anP2 = a2 ++.++-2n-22a
6 第一章 行列式 cn−2+xcn−1 ========== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 0 · · · 0 0 0 0 x −1 · · · 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 0 −1 0 0 0 0 · · · 0 0 −1 an an−1 an−2 · · · x 3 + a1x 3 + a2x + a3 x 2 + a1x + a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cj+xcj−1 ======== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −1 · · · 0 0 0 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · −1 0 0 0 · · · 0 −1 x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an x n−1 + a1x n−2 + · · · + an−2x + an−1 · · · x 2 + a1x + a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =(x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an)(−1)n+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 · · · 0 0 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . 0 · · · −1 0 0 · · · 0 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =(x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an)(−1)n+1(−1)n−1 =x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 方法二. 设法把 −1 全部变为 0, 得到一个下三角矩阵. 若 x = 0, 则 Dn = an. 等式成立. 若 x 6= 0, 则 Dn c2+ 1 x c1 ======= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x 0 0 · · · 0 0 0 x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an an−1 + an x an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c3+ 1 x c2 ======= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x 0 0 · · · 0 0 0 x 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an an−1 + an x an−2 + an−1 x + an x2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = · · · = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x 0 0 · · · 0 0 0 x 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x 0 an an−1 + an x an−2 + an−1 x + an x2 · · · P2 P1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 这里, P2 = a2 + a3 x + a4 x 2 + · · · + + an x n−2
1线性代数（同济四版）习题参考答案P=+a+%+%an+·..++22rn-1得到下三角阵，所以Dn = rn-1. Pi = r" +a1an-11+...+an-ir+an方法三用递归法证明，记-1000...0-100r..........:Dn =000-1.. .anan-1+a1an-2a2则00-1(U200：8目..展开。+ an(-1)n+1D.....00-1.500a2r+a1an-1an-2= rDn-1 + an(-1)n+1(-1)rDn-1+an所以，D,=aDn-1+an：由此递归式得Dn=r"+airn+an-1r+an方法四。按最后一行展开。先看an-的代数余子式.因为.--1---T-1----T---1--Dn:1----11-r1r+a1Tan-a2anan(i+1)划掉an-i所在的行和所在的列，左上角是ixi的方块，右下角是（n-i-1)×(n-i-1)的方块，余下全为0则an-的代数余子式为（注意到an-处在第n行、i+1列)-1ST-1r(-1)n+i+12-1)x(n-i-1)x所以，D，按最后一行展开，得到.. +a22n-2 +(r +a1)rn-1Dn=an+an-1r+an-2.tan-ir
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 7 P1 = x + a1 + a2 x + a3 x 2 + · · · + + an x n−1 . 得到下三角阵, 所以 Dn = x n−1 · P1 = x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 方法三. 用递归法证明. 记 Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 0 · · · 0 0 0 x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , 则 Dn 展开 c1 ======x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · x −1 an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + an(−1)n+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 0 · · · 0 0 x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · x −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = xDn−1 + an(−1)n+1(−1)n−1 = xDn−1 + an. 所以, Dn = xDn−1 + an. 由此递归式得 Dn = x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 方法四. 按最后一行展开. 先看 an−i 的代数余子式. 因为 Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 x −1 x . . . . . . −1 x −1 x −1 x . . . . . . −1 x −1 an an−1 an−2 · · · an−(i−1) an−i an−(i+1) a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 划掉 an−i 所在的行和所在的列, 左上角是 i×i 的方块, 右下角是 (n−i−1)×(n−i−1) 的方块, 余下全为 0. 则 an−i 的代✿✿数✿✿余✿✿子✿✿✿式✿为 (注意到 an−i 处在第 n 行、i + 1 列) (−1)n+i+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 x −1 x . . . . . . −1 x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i×i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 x . . . . . . −1 x −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n−i−1)×(n−i−1) = x i 所以, Dn 按最后一行展开, 得到 Dn = an + an−1x + an−2x 2 + · · · + an−ix i + · · · + a2x n−2 + (x + a1)x n−1