x3 -3x+20型例1.求lim03-x2-x+1x->1WLBr解：原式， = limx→1 3x2- 2x -136xlim=2x-→16x-2注意：不是未定式不能用洛必达法则6x6limlim二x-16x - 2x→16目录上页下页返回结束机动
例1. 求 解: 原式 lim →1 = x 型 0 0 6 2 6 lim 1 − = → x x x 2 3 = 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 6 2 6 lim →1 x − x x 1 6 6 lim 1 = x→ 3 3 2 x − 3 2 1 2 x − x −
元-arctanx福2型例2.求 lim01X→+0x1+解: 原式 = lim8X→+8型2x8Xlimlim21+1X→+801+x福x→+00七-arctan n2思考：如何求为正整数）？limn1n00n上页目录下页返回结束机动
例2. 求 解: 原式 lim → + = x 型 0 0 2 2 1 lim x x x + = → + = 1 2 1 1 + x − 2 1 x − 1 1 lim 2 1 + = → + x x 思考: 如何求 n n n 1 2 arctan lim − → ( n 为正整数) ? 型
X二、型未定式8定理2.1) lim|f(x)= lim F(x)=00x->ax→a02）f(x)与F(x)在U(a)内可导,且F(x)≠0f(x)存在 (或为)3) limx-a F(x)() = lim ()lim :（洛必达法则）x-→a F(x)x-→aF'(x)f(x)证：仅就极限lim存在的情形加以证明x-→aF(x)目录上页下页返回结束机动
二、 型未定式 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为∞) ( ) ( ) lim F x f x x→a 定理 2. 证: ( ) ( ) lim F x f x x→a 仅就极限 存在的情形加以证明 . ( ) ( ) lim F x f x x a = → (洛必达法则) 2) f ( x)与F ( x) 在 (a)内可导,
0f(x)型￥0的情形lim1-0x→a F(x)1F'(x)F2(x)f(x)F(x)limlimlim1x→aF(x)一1x→ax→af'(x)f2(x)f(x)[(]F'(x)3 ()= limlim-11f'(x)x>ax-→aX→2. lim F(α)f(x)1 = limx-aF(x) x-a f'(x)C= lim )lim从而x-a F((x)x-→>a F(x)目录上页下页返回结束机动
1) 0 ( ) ( ) lim → F x f x x a 的情形 ( ) ( ) lim F x f x x→a lim x→a = ( ) 1 F x ( ) 1 f x lim x→a = ( ) ( ) 1 2 F x F x − ( ) ( ) 1 2 f x f x − = → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 2 f x F x F x f x x a ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 2 f x F x F x f x x a x a = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) 1 lim f x F x F x f x x a x a = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 从而 型 0 0