证明：(1) Ey=P2(x) 若区域D既是X-型 x=(y) 又是Y-型，即平行于坐 标轴的直线和L至多交 x丰2(y) 于两点. Cy=(x) a b D={(x,y)p(x)≤y≤p2(x),M≤x≤b} D={(x,y)w(y)≤x≤w2(y),c≤y≤} 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 }),()(),{( 1 2 = ϕ ≤ ≤ ϕ ≤ ≤ bxaxyxyxD 证明:(1) 若区域 D既是 X − 型 又是 Y − 型 ,即平行于坐 标轴的直线和 L至多交 于两点. }),()(),{( 1 2 = ψ ≤ ≤ ψ ≤ ≤ dycyxyyxD y x o a b D c d )( 1 y = ϕ x )( 2 y = ϕ x A B C E ( 2 x = ψ y ) )( 1 x = ψ y
I爬a海-424 牛顿莱布 尼兹公式 =了ew,d∫eg,Uw =-上ecw x=vy) -SQ(x.)dy+JcQ(x,y)dy C七=,0) =∮(x,y) 0 同理可证-a-PP 2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 dx x Q dydxdy x Q y y d c D ∫∫∫∫ ∂ ∂ = ∂ ∂ )( )( 2 1 ψ ψ ∫ ∫ = − d c d c ψ 2 ψ 1 )),(()),(( dyyyQdyyyQ ∫ ∫ = − CBE CA E ),(),( dyyxQdyyxQ ∫ ∫ = + CBE EA C ),(),( dyyxQdyyxQ ∫ = L ),( dyyxQ 同理可证 ∫∫∫ = ∂ ∂ − L D dxyxPdxdy y P ),( y x o d )(2 x = ψ y D c C E )(1 = ψ yx 牛顿 -莱布 尼兹公式
两式相加得 小器-器a-P版+Q购 证明(2) 若区域D由按段光滑 的闭曲线围成如图， D D 将D分成三个既是X-型又是 Y-型的区域D1,D2,D3 小喂-从品h D1+D2+D3 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 若区域 D由按段光滑 的闭曲线围成 .如图 , 证明(2) L L1 L2 L3 D D1 D3 D2 两式相加得 ∫∫ ∫ += ∂ ∂ − ∂ ∂ L D dxdy QdyPdx y P x Q )( 将 D分成三个既是 X −型又是 Y −型的区域 D 1 , D 2 , D 3 . ∫∫ ∫∫ ++ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ 321 )( )( D DDD dxdy y P x Q dxdy y P x Q
是部+架本+器 =f.Pax+Qdy+fPd+Qdy+f Pax+Qd =人Pk+ L,D (L、L2、L3对D来说为正方向) D 2009年7月27日星期一 0 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ 1 2 3 )()()( D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q ∫ ∫ ∫ +++++= L1 L 2 L 3 QdyPdx QdyPdx QdyPdx ∫ += L QdyPdx D1 D2 D3 L L1 L2 L3 （ L1 、 L 2 、 L 3 对 D 来说为正方向）
证明(3) 若区域不止由一条闭曲线 所围成.添加直线段AB、CE, 则D的边界曲线由AB,L2,BA, C AFC,CE,L3,EC及GA构成. 2知， =打威打+co去志(Pc+) =(④，+∮+∮P+Qd =P+Q（L、L、L对D来说为正方向.) 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 G D L 3 L 2 F C E L1 A B 证明(3) 若区域不止由一条闭曲线 所围成.添加直线段 AB 、CE， 则 D的边界曲线由 AB , L 2 ,BA, AFC,CE, L 3, EC 及 GA 构成. 由(2) 知 ∫∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ D dxdy y P x Q )( ∫∫ ∫ ∫ ∫ ++++= 2 CEAFCBALAB { ∫ ∫ ∫ +⋅+++ CGAECL (} QdyPdx ) 3 231 ( )( ) LLL = ++ + Pdx Qdy vvv ∫∫∫ ∫ += L QdyPdx （ L1 、 L 2 、 L3 对 D 来说为正方向。 ）