定理1523设函数f(x,y)和g(x,y满足以下两组条件之一,则含 参变量的反常积分 f(x, y)g(x, y)dx 关于y在[c,4上一致收敛 1.(Abel判别法) (1)f(xy)dx关于y在e上一致收敛; (2)g(x,y)关于x单调,即对每个固定的y∈[,d],g关于x是单 调函数; (3)g(x,y)一致有界,即存在正数L,使得 lg(x,y)≤L,a≤x<+∞,c≤y≤d
定理 15.2.3 设函数 yxf ),( 和 yxg ),( 满足以下两组条件之一，则含 参变量的反常积分 ( , ) ( , )d a f xygxy x +∞ ∫ 关于 y 在 dc ],[ 上一致收敛。 1．（Abel 判别法） （1） ( , )d a f xy x +∞ ∫ 关于 y 在 dc ],[ 上一致收敛； （2） yxg ),( 关于x单调，即对每个固定的 ∈ dcy ],[ ， g 关于 x是单 调函数； （3） yxg ),( 一致有界，即存在正数L ，使得 ≤ ,|),(| ≤ < +∞, ≤ ≤ dycxaLyxg
2.( Dirichlet判别法) (1)jf(xydx一致有界,即存在正数L,使得 f(x,y)dx≤L,a<A< y∈[c,d] (2)g(x,y)关于x单调,即对每个固定的y∈[c,],g关于x是单 调函数; (3)当x→>+∞时g(x,y)关于y在[cd团]上一致趋于零,即对于任意 给定的ε>0,存在与y无关的正数A,使得当x≥A时,对于任意 y∈[e,d成立 g(x,y)≤Eo
2．（Dirichlet 判别法） （1） ( , )d A a f x y x ∫ 一致有界，即存在正数L ，使得 ( , )d A a f xy x L ≤ ∫ ， < Aa +∞< ， ∈ dcy ],[ ； （2） yxg ),( 关于x单调，即对每个固定的 ∈ dcy ],[ ， g 关于 x是单 调函数； （3）当x +∞→ 时 yxg ),( 关于 y 在 dc ],[ 上一致趋于零，即对于任意 给定的ε > 0 ，存在与 y 无关的正数 A0 ，使得当 ≥ Ax 0 时，对于任意 ∈ dcy ],[ 成立 yxg |),(| ≤ ε
证我们只证明Abel判别法, Dirichlet判别法的证明类似。 由于∫f(xyx在c4上一致收敛,由 Cauchy收敛原理,对于 任意给定的>0,存在与y无关的正数A,使得当A,A>A时, f(r,y)dx<a 那么当A,A>A时,对于任意y∈[c,d],由积分第二中值定理, f(x, y)g(, y)dx=g(A, y) f(x, y)dx+g(A, y)l. f(x, y)dx 其中在A与4之间。于是由定理1521,∫f(xydx在e小上一致 收敛
证 我们只证明 Abel 判别法，Dirichlet 判别法的证明类似。 由于 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上一致收敛，由 Cauchy 收敛原理，对于 任意给定的ε > 0，存在与 y 无关的正数 A0，使得当 0 ′, > AAA 时， ( , )d A A f xy x ε ′ < ∫ 。 那么当 0 ′, > AAA 时，对于任意 ∈ dcy ],[ ，由积分第二中值定理， ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d 2 , A A A A A A f xygxy x gAy f xy x gA y f xy x gAy f xy x gA y f xy x L ξ ξ ξ ξ ε ′ ′ ′ = + ′ ≤+ < ′ ∫ ∫∫ ∫ ∫ 其中ξ 在 A与 A′之间。于是由定理 15.2.1， ( , )d a f xy x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上一致 收敛
证我们只证明Abel判别法, Dirichlet判别法的证明类似。 由于∫f(xyx在c4上一致收敛,由 Cauchy收敛原理,对于 任意给定的>0,存在与y无关的正数A,使得当A,A>A时, f(x, y)dx<8 那么当A,A>A时,对于任意y∈[c,d],由积分第二中值定理, f(x, y)g(, y)dx=g(A, y) f(x, y)dx+g(A, y)l. f(x, y)dx 其中在A与4之间。于是由定理1521,∫f(xydx在e小上一致 收敛。 关于无界函数的含参变量反常积分的一致收敛性,同样有 Cauchy 收敛原理, Weierstrass判别法,Abel判别法和 Dirichlet判别法
关于无界函数的含参变量反常积分的一致收敛性，同样有Cauch y 收敛原理，Weierstrass 判别法，Abel 判别法和 Dirichlet 判别法。 证 我们只证明 Abel 判别法，Dirichlet 判别法的证明类似。 由于 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上一致收敛，由 Cauchy 收敛原理，对 于 任意给定的 ε > 0，存在与 y 无关的正数 A0，使得当 0 ′, > AAA 时， ( , )d A A f xy x ε ′ < ∫ 。 那么当 0 ′, > AAA 时，对于任意 ∈ dcy ],[ ，由积分第二中值定理， ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d ( , ) ( , )d 2 , A A A A A A f xygxy x gAy f xy x gA y f xy x gAy f xy x gA y f xy x L ξ ξ ξ ξ ε ′ ′ ′ = + ′ ≤+ < ′ ∫ ∫∫ ∫ ∫ 其中 ξ 在 A 与 A′之间。于是由定理 15.2.1， ( , )d a f xy x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上一 致 收敛