§2连续函数 连续函数的定义 定义32.1设函数f(x)在点x的某个邻域中有定义,并且成立 lim f(x)=f(xo) x→x0 则称函数f(x)在点x连续,而称x是函数f(x)的连续点。 “函数f(x)在点x连续”的符号表述(或称“s-δ”表述): VE>0,3δ>0,Vx(|x-x0k8):f(x)-f(x)kE
§2 连续函数 连续函数的定义 定义3.2.1 设函数 f x( ) 在点 x0的某个邻域中有定义，并且成立 lim x x → 0 f x( ) = f x( ) 0 ， 则称函数 f x( ) 在点 x0 连续，而称 x0是函数 f x( ) 的连续点。 “函数 f x( ) 在点 x0 连续”的符号表述（或称“ε −δ ”表述）： ∀ ε > 0，∃ δ > 0，∀ x ( 0 | | x x − < δ ) ： 0 | ( ) ( )| fx fx − < ε
§2连续函数 连续函数的定义 定义3.21设函数f(x)在点x的某个邻域中有定义,并且成立 lim f(x)=f(xo) x→x0 则称函数f(x)在点x连续,而称x是函数f(x)的连续点。 “函数f(x)在点x连续”的符号表述(或称“s-δ”表述): VE>0,3δ>0,Vx(|x-x0k8):f(x)-f(x)kE。 定义32.2若函数f(x)在区间(a,b)的每一点都连续,则称函数 f(x)在开区间(a,b)上连续
§2 连续函数 定义3.2.2 若函数 f x( ) 在区间 ba ),( 的每一点都连续，则称函数 f x( ) 在开区间 ba ),( 上连续。 连续函数的定义 定义3.2.1 设函数 f x( ) 在点 x0的某个邻域中有定义，并且成立 lim x x → 0 f x( ) = f x( ) 0 ， 则称函数 f x( ) 在点 x0 连续，而称 x0是函数 f x( ) 的连续点。 “函数 f x( ) 在点 x0 连续”的符号表述（或称“ε −δ ”表述）： ∀ ε > 0，∃ δ > 0，∀ x ( 0 | | x x − < δ ) ： 0 | ( ) ( )| fx fx − < ε
例3.2.1函数f(x)=在区间(0,1)上连续。 证设x是(0,1)中任意一点。对于任意给定的s>0,要找δ>0, 使得当|x-xkδ时,有 x-x < XX 为了放大左边不等式,加上条件|x-x0<°0,于是x>,从而 XXo 2 取6=m.52,当区一k6时, x-x\1、少<E, 所以f(x)=-在(O,1)上连续。 证毕
例3.2.1 函数 f ( ) x = 1 x 在区间(0, 1)上连续。 证 设 x0是(0, 1)中任意一点。对于任意给定的ε > 0，要找δ > 0， 使得当 0 | | x x − < δ 时，有 0 11 xx − = 0 0 xx − xx < ε 。 为了放大左边不等式，加上条件 | | x x x − < 0 02 ，于是 x x > 02 ，从而 xx x 0 0 2 2 > 。 取δ = min ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ ε 2 , 2 200 xx ，当 − xx 0|| < δ 时， 0 11 xx − = 0 0 xx − xx 0 2 0 2| | x x x ε − < < ， 所以 f x( ) = 1 x 在(0, 1) 上连续。 证毕
为了讨论函数在闭区间上的连续性,需要单侧连续的概念: 定义3.2.3 若limf(x)=f(x),则称函数f(x)在x左连续 若lmf(x)=f(x),则称函数∫(x)在x右连续。 imf(x)=f(x)可表述为:E>0,彐δ>0,yx(-6<x-x≤0) x→x0 f(x)-f(o)ke imf(x)=f(x0)可表述为:VE>0,3δ>0,Vx(0≤x-x0<6) x→)xa+ f(x)-f(x0)E
为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要单侧连续的概念： 定义3.2.3 若 lim x x → −0 f x( ) = f x( ) 0 ，则称函数 f x( ) 在 x 0左连续； 若 lim x x → +0 f x( ) = f x( ) 0 ，则称函数 f x( ) 在 x 0右连续 。 lim x x → −0 f x( ) = f x( ) 0 可表述为： ∀ ε > 0，∃ δ > 0，∀ x （ 0 − δ <− ≤ x x 0）： 0 | fx fx () ( ) − |< ε ； lim x x → +0 f x( ) = f x( ) 0 可表述为： ∀ ε > 0，∃ δ > 0，∀ x （ 0 0 ≤ x x − < δ ）： 0 | fx fx () ( ) − |< ε
为了讨论函数在闭区间上的连续性,需要单侧连续的概念: 定义3.2.3 若limf(x)=f(x),则称函数f(x)在x左连续 x→>x0 若lmf(x)=f(x),则称函数∫(x)在x右连续。 imf(x)=f(x)可表述为:E>0,彐δ>0,yx(-6<x-x≤0) x→ f(x)-f(o)ke if(x)=f(x0)可表述为:g>0,3δ>0,x(0≤x-x0<) x→)xa+ If(x)-f(roke 定义3.2.4若∫(x)在(ab)连续,且在左端点a右连续,在右端点 b左连续,则称函数∫(x)在闭区间[ab上连续
定义3.2.4 若 f x( ) 在 ba ),( 连续，且在左端点a右连续，在右端点 b左连续，则称函数 f x( ) 在闭区间 ba ],[ 上连续。 为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要单侧连续的概念： 定义3.2.3 若 lim x x → −0 f x( ) = f x( ) 0 ，则称函数 f x( ) 在 x0左连续； 若 lim x x → +0 f x( ) = f x( ) 0 ，则称函数 f x( ) 在 x0右连续。 lim x x → −0 f x( ) = f x( ) 0 可表述为：∀ ε > 0，∃ δ > 0，∀ x（ 0 −δ <− ≤ x x 0）： 0 | fx fx () ( ) − |< ε ； lim x x → +0 f x( ) = f x( ) 0 可表述为：∀ ε > 0，∃ δ > 0，∀ x（ 0 0 ≤ x x − < δ ）： 0 | fx fx () ( ) − |< ε