致收敛的判别法 下面仅以「f(x,y)dx为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况,结果是类似的。 定理1521( Cauchy收敛原理)含参变量反常积分f(xy)dx 在[c,上一致收敛的充分必要条件为:对于任意给定的E>0,存在与 y无关的正数A,使得对于任意的A,A>A,成立 f(x,y)dx<E,y∈[e,d
一致收敛的判别法 下面仅以 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况，结果是类似的。 定理 15.2.1（Cauchy 收敛原理） 含参变量反常积分 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上一致收敛的充分必要条件为：对于任意给定的ε > 0，存在与 y 无关的正数 A0，使得对于任意的 0 ′, > AAA ，成立 ( , )d A A f xy x ε ′ < ∫ ， ∈ dcy ],[
致收敛的判别法 下面仅以「f(x,y)dx为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况,结果是类似的。 定理1521( Cauchy收敛原理)含参变量反常积分f(xy)dx 在[c,上一致收敛的充分必要条件为:对于任意给定的E>0,存在与 y无关的正数A,使得对于任意的A,A>A,成立 1(x,y)d<s,y∈lc,d]o 由 Cauchy收敛原理立即得知: 推论15.2.1若存在>0,使得对于任意大的正数A,总存在 A,A>A及y∈[cd],使得 f(x,y4)dx2≥6 那么含参变量反常积分。(x灿x在4上非一致收敛
由 Cauchy 收敛原理立即得知： 推论 15.2.1 若存在 0 ε 0 > ，使得对于任意大的正数 A0，总存在 0 ′ , > AAA 及 ],[ 0 dcy A ∈ ，使得 0 0 ( , )d A A A f xy x ε ′ ≥ ∫ ， 那么含参变量反常积分 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上非一致收敛。 一致收敛的判别法 下面仅以 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况，结果是类似的。 定理 15.2.1（Cauchy 收敛原理） 含参变量反常积分 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上一致收敛的充分必要条件为：对于任意给定的ε > 0，存在与 y 无关的正数 A0，使得对于任意的 0 ′, > AAA ，成立 ( , )d A A f xy x ε ′ < ∫ ， ∈ dcy ],[
定理15.2.2( Weierstrass判别法)如果存在函数F(x)使得 (1)|f(x,y)F(x),a≤x<+o,c≤y≤d, (2)反常积分F(x)dr收敛。 那么含参变量的反常积分f(xy在上一致收敛
定理 15.2.2（Weierstrass 判别法） 如果存在函数 xF )( 使得 （1） ≤ ),(|),(| ≤ < +∞, ≤ ≤ dycxaxFyxf ， （2）反常积分 ( )d a F x x +∞ ∫ 收敛。 那么含参变量的反常积分 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上一致收敛
定理15.2.2( Weierstrass判别法)如果存在函数F(x)使得 f(x,y)F(x),a≤ ≤y≤ (2)反常积分F(x)dr收敛。 那么含参变量的反常积分f(xy在上一致收敛。 证因为∫F(xd收敛,由反常积分的 Cauchy收敛原理,对于任 意给定的E>0,存在正数A4,使得对于任意的A,A>A,成立 x)ax <8 因此当,A>A4时,对于任意y∈e,d],不等式 A f(x, y) dxs F(x)dx< 成立,由定理1521,「F(xx在上一致收敛
证 因为 ( )d a F x x +∞ ∫ 收敛，由反常积分的 Cauchy 收敛原理，对于任 意给定的ε > 0，存在正数 A0，使得对于任意的 0 ′, > AAA ，成立 ( )d A A Fx x ε ′ < ∫ 。 因此当 0 ′, > AAA 时，对于任意 ∈ dcy ],[ ，不等式 ( , )d ( )d A A A A f xy x Fx x ε ′ ′ ≤ < ∫ ∫ 成立，由定理 15.2.1， ( )d a F x x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上一致收敛。 定理 15.2.2（Weierstrass 判别法） 如果存在函数 xF )( 使得 （1） ≤ ),(|),(| ≤ < +∞, ≤ ≤ dycxaxFyxf ， （2）反常积分 ( )d a F x x +∞ ∫ 收敛。 那么含参变量的反常积分 ( , )d a f xy x +∞ ∫ 在 dc ],[ 上一致收敛
-ax 例1522证明∫ dx关于a在0+o)上一致收敛 解由于 -aOX e 0<x<+00、0≤a<+ 而 +∞e x在[0,+∞)上 01+x dx=收敛,由 Weierstra别法, 01+X 致收敛
例 15.2.2 证明 2 0 e d 1 x x x − α +∞ + ∫ 关于 α 在 + ∞),0[ 上一致收敛。 解 由于 +∞<≤+∞<≤ + ≤ + < − α α 0,0, 1 1 1 e 0 2 2 x xx x ， 而 2 0 1 π d 1 2 x x +∞ = + ∫ 收敛，由 Weierstrass 判别法， 2 0 e d 1 x x x − α +∞ + ∫ 在 + ∞),0[ 上 一 致收敛