第三章函数极限与连续函数 §1函数极限 函数极限的定义 在半径为r的圆上任取一小段圆弧,记它所对的圆心角的弧度为 2x,则圆弧长度为2x,而圆弧所对的弦的长度为2 sinx,弦长与弧长 之比值y是x的函数,其关系式为y sinx
第三章 函数极限与连续函数 §1 函数极限 函数极限的定义 在半径为 r 的圆上任取一小段圆弧，记它所对的圆心角的弧度为 2 x，则圆弧长度为 2 x r ,而圆弧所对的弦的长度为2 sin r x ，弦长与弧长 之比值 y 是 x的函数，其关系式为 y x x = sin
猜想:当x趋于0时,y sInx 趋于1 以后将对这一极限给出严格证明,并记为limx=1。 x→0 注意:在x趋于0的过程中,不取x=0(事实上,当x=0时,函数 x没有定义)。我们关心的是在x趋于0的过程中,函数y=当x的 x x 变化趋势,而不关心函数在x=0处是否有定义,如果有定义的话函数 值为多少
猜想：当 x趋于0时， y x x = sin 趋于1。 以后将对这一极限给出严格证明，并记为lim x→0 sin x x = 1。 注意：在 x趋于0的过程中，不取 x = 0（事实上，当 x = 0时，函数 sin x x 没有定义）。我们关心的是在 x趋于0的过程中，函数 y x x = sin 的 变化趋势，而不关心函数在 x = 0处是否有定义，如果有定义的话函数 值为多少
定义3.1.1设函数y=f(x)在点x的某个去心邻域中有定义, 即存在ρ>0,使 O(ro, p)xcD 如果存在实数A,对于任意给定的>0,可以找到δ>0,使得当 04x-x0k<时,成立 f(x)-AkE 则称A是函数f(x)在点x的极限,记为 lim f(x=A, 或 f(x)→>A(x 如果不存在具有上述性质的实数A,则称函数f(x)在点x的极限不 存在
定义3.1.1 设函数 y fx = ( )在点 x0的某个去心邻域中有定义， 即存在 ρ ＞0,使 0 0 Ox x ( , )\ ρ { } ⊂ Df 。 如果存在实数 A，对于任意给定的ε > 0，可以找到δ > 0，使得当 0 0 <| | x x − < δ 时，成立 | () | fx A − < ε ， 则称 A是函数 f x( ) 在点 x0 的极限，记为 lim x x → 0 f x( ) = A, 或 f x( ) → A ( x → x0 )。 如果不存在具有上述性质的实数 A，则称函数 f x( ) 在点 x0 的极限不 存在
定义3.1.1设函数y=f(x)在点x的某个去心邻域中有定义 即存在p>0,使 xo,p)xorc 如果存在实数A,对于任意给定的E>0,可以找到δ>0,使得当 04x-x0k<δ时,成立 f(x)-Ake 则称A是函数f(x)在点x的极限,记为 lim f(x)=A, 或 x)→A(x→xn) 如果不存在具有上述性质的实数A,则称函数f(x)在点x的极限不 存在 函数极限定义的符号表述: if(x)=AVE>0,38>0,x(04x-x0k6):f(x)-4kE
函数极限定义的符号表述： lim x x → 0 f x( ) = A ⇔ ∀ ε > 0，∃ δ > 0，∀ x ( 0 0| | <− < x x δ )：| () | fx A − < ε 。 定义3.1.1 设函数 y fx = ( )在点 x0 的某个去心邻域中有定义， 即存在 ρ ＞0,使 0 0 Ox x ( , )\ ρ { } ⊂ D f 。 如果存在实数 A，对于任意给定的 ε > 0，可以找到 δ > 0 ，使得当 0 0 <| | x x − < δ 时，成立 | () | fx A − < ε ， 则称 A是函数 f x( ) 在点 x0 的极限，记为 lim x x → 0 f x( ) = A , 或 f x( ) → A ( x → x0 )。 如果不存在具有上述性质的实数 A，则称函数 f x( ) 在点 x0 的极限 不 存在
例3.1.1证明lime=1 证ε>0(不妨设0<E<1),要找δ>0,使得当0<x<时,成 立 e2-1|<E 上式等价于 In(1-8<x<In(+8) 取δ=mim{m1+),-ln(-)>0,当x满足0<x<δ时,成立 <E, 所以 lim e=1。 x→
例 3.1.1 证明 0 lim e 1 x x→ = 。 证 ∀ ε > 0 (不妨设0 1 < ε < )，要找δ > 0，使得当0 < x < δ 时，成 立 ｜e 1 x − ｜< ε 。 上式等价于 ln(1 ) −ε < x < ln(1 ) +ε ， 取δ = min{ + ε )1ln( , ln(1 )} 0 − − > ε ，当x满足0 < x < δ 时，成立 ｜e 1 x − ｜< ε ， 所以 lim x→0 e 1 x =