第17讲Penrose广义逆与Moore广义逆 {1}-逆与{1,2,3}-逆、{1,2,4}-逆 冬关于A+ 广义逆的计算 。由Hermite标准形求{-逆 ·由满秩分解求广义逆 投影矩阵与Moore-.Penrosej逆 ·投影算子与投影矩阵 ·正交投影算子与正交投影矩阵 ·投影矩阵与广义逆矩阵 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
6 lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 6 第17讲 Penrose广义逆与Moore广义逆 {1}-逆与{1，2，3}-逆、 {1，2，4}-逆 关于A+ 广义逆的计算 由Hermite标准形求{1}-逆 由满秩分解求广义逆 投影矩阵与Moore-Penrose逆 投影算子与投影矩阵 正交投影算子与正交投影矩阵 投影矩阵与广义逆矩阵
1}-逆与{1,2,3}-逆、{1,2,4}-逆 引理：对任意矩阵A均有 rank(AHA)=rankA rank(AAH) ·证明 HxeN(A)Ax=0→AHAx=0 N(AHA)=N(A) N(A)N(ABA) Hx∈N(AHA) N(AA)N(A) 4=Ax=04— x"AAx=0=(Ax)"(Ax) AA与A的列数均为n→ dimN(A)=n-rankA rank(AA)=rankA dim N(AHA)=n-rank(AA) AA rank(AAB)=rank A=rankA lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论香
7 lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7 {1}-逆与{1，2，3}-逆、 {1，2，4}-逆 引理：对任意矩阵A均有 rank(AHA) = rankA = rank(AAH) • 证明
{1}-逆与{1,2,3}-逆、{1,2,4}-逆 定理3：给定矩阵A,则 Y=(AHA)AH∈A{1,2,3} Z=AH(AAH)∈A{1,2,4 ·证明显然R(AA)CR(A)由引理可知R(AA)=R(A) A=UHAHA存在U使 AH-AHAU (i) AYA=(UHAHA)[(AHA)四A]A=UHAHA=A满足（① YEA 1 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
8 lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8 {1}-逆与{1，2，3}-逆、 {1，2，4}-逆 定理3： 给定矩阵A , 则 证明
{1}-逆与{1,2,3}-逆、{1,2,4}-逆 YeA{→rankY≥rankA rankY=rankA ranky=rank (A"A)An)s rankA#-rankA Ye Af1,2) AY=(UHAHA)(AHA)DAH-UHABA (AHA)DAHAU =UH (AHA)U=(AY)HD) Y∈A{3} Y∈A{1,2,3} lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
9 lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9 {1}-逆与{1，2，3}-逆、 {1，2，4}-逆
关于A 定理4：给定矩阵A A=A1,)A4L,3 ·证明： A()AA(3)XEA1,2 定理1 Ax=AA()AA(3)) (AA)(Ax) AZA=A XA=AAA AA(AA)"=(KA)" AZA=A X∈A{1,2,3,4}=A lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 10
10 lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 10 关于A+ 定理4：给定矩阵A 证明： AZA=A AZA=A