例2计算「，xdy，其中曲线AB是半径为r的ABV圆在第一象限部分(方向按顺时针)A解引入辅助曲线LDL=OA+AB+BOx0BL应用格林公式,P=0,Q=x有-[ dxdy=, xdy = e, xdy+[μrxdy + [xdy,JBOD由于[e, xdy=0, roxdy=0,ROJOA[, xdy = -[[ dxdy = -二元r?ABD
x y o L A B D L OA AB BO = + + 应用格林公式,P=0,Q=x有 解 引入辅助曲线L, 2 ( ). AB xdy AB r 例 计算 ，其中曲线 是半径为 的 圆在第一象限部分 方向按顺时针 L D − = dxdy xdy , OA AB BO = + + xdy xdy xdy 0, 0, OA BO xdy xdy = = 由于 1 2 . AB 4 D = − = − xdy dxdy r
J (+3y)dx+(2-x)dy,其中L为上半练习计算圆周y=4x-x?从 0 (0, 0) 到 A (4, 0)解：为了使用格林公式，添加辅助线段AO,它与L所围区域为D，则原式=Φ, (x +3y) dx+(y2-x) dxL+AO+J (x +3y) dx+(y2 -x) dyQ4f], dxdy+ 'x* dxytL4-3D=8元+Ax
y o A x L 练习 计算 其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO, D 它与L 所围 原式 2 2 ( 3 ) d ( ) d L AO x y x y x x + = + + − 4 2 0 4 d d d D = + x y x x 2 2 ( 3 ) d ( ) d OA + + + − x y x y x y 圆周 区域为D , 则 64 8 3 = +
xdy - ydx例3 计算其中L是一条无重点分段JLx?+ y?光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向解：记L所围成的闭区域为D，x-y令P=一0=x?+yx"+yy-x?apaQ有则当x2+y2￥0时,ax(x+y)? ay
解:记L所围成的闭区域为D， 2 2 3 L xdy ydx L x y L − + 例 计算 ，其中 是一条无重点分段 光滑且不经过原点的连续闭曲线， 的方向为逆 时针方向. 2 2 2 2 2 2 2 0 ( ) Q y x P x y x x y y − + = = + 则当 时，有 2 2 2 2 , y x P Q x y x y − = = + + 令
V(1)当(0, 0) 史 D时Lxdy- ydxD由格林公式知,=0x?+ y?x0(2)当(0, 0) E D时作位于D内的圆I：x2+y2=rJt记D,由L和I所围成LD应用格林公式，得XV
x y o L D 2 2 , 0 L xdy ydx x y − = + 由格林公式知 L D1 r l y x o (1) (0, 0) 当 D时 2 2 2 作位于D l x y r 内的圆 : + = (2) (0, 0) 当 D时 应用格林公式,得 记D L l 1 由 和 所围成
xdy- ydxxdy - ydxippV=0x? + y?x?+ y?D1xdy - ydxxdy- ydx:909ix?+y?北x'+ y?2元r2 cos0+r sin*0de(其中的方向0取逆时针方向）=2元.（注意格林公式的条件）
2 2 2 2 L l xdy ydx xdy ydx x y x y − − = + + 2 2 2 2 0 L l xdy ydx xdy ydx x y x y − − − = + + = 2 . (注意格林公式的条件) 2 2 2 2 2 2 0 r r cos sin d r + = L D1 r l y x o (其中l的方向 取逆时针方向)