函数在无穷远点的留数二定义5. 5设为f(z)的一个孤立奇点,即f(z)在圆环域R<z<+8内解析,则称2m l. (a)de(C 1≥ = p > R)为f(z)在点o的留数,记为Re s[f(z),]这里C-是顺时针方向设f(z)在R<z<+内的洛朗展式为f(z)=++++co+z+.+c,z"1则有 Re sLf(z),0]f(z)dzf(z)dz =-c_12元i2元i
三、 函数在无穷远点的留数 定义5.5 设∞为f(z)的一个孤立奇点,即f(z) 在圆环域R<|z|<+∞内解析,则称 ( ) ,( :| | ) 2 1 f z dz C z R i C = - 设f(z)在R<| z|<+∞内的洛朗展式为 = + ++ + + ++ + - - n z n c z c f z n c c z c z n 0 1 1 ( ) 这里 C-是顺时针方向 为f(z)在点∞的留数,记为 Re s[ f (z),] 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 Re [ ( ), ] 1 = = - = - - - f z dz c i f z dz i s f z C C 则有
这就是说，f(2)在点的留数等于它在8点的去心邻域R<z<+8内洛朗展开式中z-1的系数变号注：当为可去奇点时,Resf(z),8|不一定为零1例如f(z)8为可去奇点。1- zf(z)在l<z<+oo内展开为Lauren级数：11V11- z21)Z2Z Res[f(z), 00]= -C- =1再如 f(z)=-,为可去奇点,→>Res[f(z),]=-C-,=-1Z
这就是说, f (z)在点的留数等于它在点的去心邻域 R<|z|<+内洛朗展开式中 z -1 的系数变号. 注：当 为可去奇点时，Res[ ( ), ] f z 不一定为零 . f z z ( ) Lauren 在1< <+内展开为 级数： = - - - = - + + + - = - - 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 z z z z z z z z Res[ ( ), ] 1 f z = -C-1 = Res[ ( ), ] 1 1 = - = - f z C- 1 ( ) , 1 f z z = - 例如 为可去奇点。 1 f z( ) , z 再如 = 为可去奇点
定理5.8 女如果f(z)在C。上只有有限个孤立点(包括无穷远点在内),Z,Zz,，Zm,,则f(z)在各点的留数总和为零证明：对于充分大的正数R,使z1,Z2，Zz全在zR内，由留数定理得
定理5.8 如果f(z)在C∞上只有有限个孤立点 (包括无穷远点在内),z1 ,z2 ,.，zn ,∞,则f(z) 在各点的留数总和为零. , 证明：对于充分大的正数 ,使 全在 内，由留数定理得 R n z ,z , z 1 2 | z | R
nZRes f(2),zklf(z)dz=2元iJk=1而f(z)dz = -Res[f(z), o0])2元iZF故得Resf(2),zI+Re s[ f(z), 00] = 0k=1法则IV Res[(b,0l--Re[()]例5.22求函数tof(z) =(z* + 2)(z -2)在它各有限奇点的留数总和
( ) Res[ ( ), ] 2 1 1 k n k z R f z dz f z z i = = = ( ) R e [ ( ), ] 2 1 = - = f z dz s f z i z R 而 故得 ( ) + = Res[ , ] 1 k n k f z z Re s[ f (z),] = 0 法则Ⅳ： = - ,0 1 1 R e [ ( ), ] R e 2 z f z s f z s 例5.22 求函数 在它各有限奇点的留数总和。 ( ) 4 2 3 10 ( 2) 2 ( ) + - = z z z f z
2k+1解：函数的有限奇点是2及z=1/2e"(k=0,1,2,3)共五个其中2是三阶极点，每个z是二阶极点，显然，逐个求出在各奇点的留数，不论用规则2或展开洛朗级数，都是十分麻烦的，现在我们利用定理5.8来求：
解：函数的有限奇点是2及 ， 共五个其中2是三阶极点，每个 是二阶极点， 显然，逐个求出在各奇点的留数，不论用规则 2或展开洛朗级数，都是十分麻烦的，现在我 们利用定理5.8来求： 2 ( 0,1,2,3) 4 2 1 4 = = + z e k i k k k z