证明把在C内的孤立奇点(k-1,2...,n)用互不包含的正向简单闭曲线C围绕起来，则根据复合闭路定理有 f(2)dz = Φ f(2)dz +Φ f(2)dz +..+Φ f(2)d z.CCC2C-Φ f(2)d z = Res[f(2),z)]+ Res[f(2), z2] +..+ Res[f(2), zn2元即Φ f(z)dz = 2 元iRes[f(z),z,].k=1C注解1、留数定理在两个从定义上看，完全不同，也不相于的概念之间架起一个桥梁，是非常重要的。注解2、具体计算一定要注意前面的系数2元i
证明把在C内的孤立奇点zk (k=1,2,.,n)用互不包含的正 向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有 1 2 ( )d ( )d ( )d ( )d . C C C Cn f z z f z z f z z f z z = + + + 1 2 1 ( )d Res[ ( ), ] Res[ ( ), ] Res[ ( ), ] 2π n C f z z f z z f z z f z z i = + + + 1 ( )d 2 π Res[ ( ), ]. n k C k f z z i f z z = 即 = 注解1、留数定理在两个从定义上看，完全不同，也不 相干的概念之间架起一个桥梁，是非常重要的。 注解2、具体计算一定要注意前面的系数 2i
一般来说求函数在孤立奇点处的留数即求它在洛朗级数中(z-zo)-1项的系数c-,即可.但如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利如果 zo是,f(z)的可去奇点,则 Res[f(z),zo]=0 .如果z是本性奇点，则只好将其按洛朗级数展开.如果 zo是极点,则有一些对求c_,有用的规则
一般来说求函数在孤立奇点z0处的留数即求 它在洛朗级数中(z-z0 ) -1 项的系数 c-1 即可. 但如 果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利. 如果 z0是 f (z)的可去奇点, 则 Res[f(z),z0 ]=0 . 如果 z0 是本性奇点, 则只好将其按洛朗级数展 开. 如果 z0 是极点, 则有一些对求 c-1有用的规 则
函数在极点的留数求法二法则I若z,是f(z)的一阶极点(4)Res[ f(z), z] = lim(z-zo)f(z)Z→Z01例5.17求函数)=(z-2/+5)在各孤立奇点处的留数解：由于z=0,2,-5 是的一阶极点，有11Res/(2)0=lm (2)= (2-2)a+3)"-10Z011Res f(2),2]= lim(z -2)f(z) = lim0（2+5)14z211Res,f(z),-5)= lim(z+ 5) f(z) = limsz(z-2)35
法则I Re [ ( ), ] lim( ) ( ) (4) ( ) 0 0 0 0 s f z z z z f z z f z z z = - → 若 是 的一阶极点 二、函数在极点的留数求法 例5.17 求函数 ( 2)( 5) 在各孤立奇点处的留数 1 ( ) - + = z z z f z 解：由于 z = 0,2,-5 是 的一阶极点，有 ( ) ( )( ) 10 1 2 5 1 Res[ ,0] lim ( ) lim 0 0 = - - + = = → → z z f z zf z z z ( ) ( ) 14 1 5 1 Res[ ,2] lim( 2) ( ) lim 2 2 = + = - = → → z z f z z f z z z ( ) ( ) 35 1 2 1 Res[ , 5] lim ( 5) ( ) lim 5 5 = - - = + = →- →- z z f z z f z z z
P(z)其中P(z)Q(z)在z.处解析法则II设f(z)Q(2)如果P(z)±0,z.为Q(z)的一阶零点，则为f(z)的一阶极点，且P(zo)Res[f(z),zo] =Q'(zo)证明：Q(z)=0及Q(z)→01的一阶极点z为Q(z)的一阶零点从而z.为Q(z)
法则II ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 Q z P z s f z z f z P z z Q z z P z Q z z Q z P z f z = = R e [ ( ), ] ( ) ( ) , 为 的一阶极点，且 如 果 ， 为 的一阶零点，则 设 其 中 ， 在 处解析， , ( ) 1 ( ) , ( ) 0 '( ) 0 0 0 0 0 为 的一阶零点从 而 为 的一阶极点 证明： 及 Q z z Q z z Q z = Q z
因此,(p(z)在z,处解析且p(zo)0)β(z)Q(z) z-zo1故f(z):g(z) (g(z)=p(z)P(z)在z.解析Z-Zo且g(zo)±0),则z为f(z)的-阶极点,由法则IRes[f(z), zol= lim (z-zo)f(z)Z→>Z0P(z)P(zo)(@'(zo) ± 0)= lim得证！Q(z)-Q(zo)Q'(zo)Z→Z0z - Zo在2="白的留数例5.18求函数2COS z
例 求函数 在 的留数 cos 2 5.18 z = z z ( ) ( ( ) ( ) 0) 1 ( ) 1 , 0 0 0 - = z z z z Q z z z 因 此 在 处解析且 ( ) 0), ( ) ( ( ) ( ) ( ) , 1 ( ) 0 0 0 = - = g z g z g z z P z z z z f z 且 故 在 解 析 则 为 ( )的 阶极点,由法则 z0 f z - ( '( ) 0) 得证！ '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim R e [ ( ), ] lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = - - = = - → → Q z Q z P z z z Q z Q z P z s f z z z z f z z z z z