《工程数学（线性代数）》课程教学资源（PPT课件）第3章 向量空间与线性方程组解的结构

三、向量组的等价第3章向量空间与线性方程组解的结构21证明向量组B：β.β..可由向量组A.α.α.α线性表示存在这一表示的系数矩阵Kmxs，使得B=AKxs若矩阵方程AX=B有解X=Km向量组A与向量组B等价存在系数矩阵Kmxs与Msxm，使得B=AKmx且BMm=A矩阵方程AX=B与BY=A同时有解X=Km，Y=M

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 21 向量组 B: 1 2 , , ,    s 可由向量组 A: 1 2 , , ,    m 线性表示 若矩阵方程 AX B= 有解 X K= m s  ， 向量组 A 与向量组 B 等价 存在这一表示的系数矩阵K m s  ，使得B AK = m s  . 存在系数矩阵 K m s  与 M s m ，使得B AK = m s  且BM A s m = . 矩阵方程AX B= 与BY A = 同时有解 X K= m s  ，Y = M s m . 三、向量组的等价 证明 1 2 1 2

三、向量组的等价第3章向量空间与线性方程组解的结构22和---例6已知向量组4:α证明:向量组B:β.B.β可由向量组A:αα.线性表示证明令矩阵A=(αiα），B=(β,β,β)向量组B可由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵方程AX=B有解而该矩阵方程有解又等价于三个方程组Ax=βi=12.3)均有解

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 22 已知向量组 1 2 1 2 : 1 , 0 1 1 A     −     = =             −   和 1 2 3 3 3 1 : 1 , 1 , 1 2 1 0 B       − −       = = =                   −    ， 令矩阵 =   ( 1 2 , )， =    ( 1 2 3 , , )， 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充分必要条件是矩阵方程 AX B= 有解. 而该矩阵方程有解又等价于三个方程组 Ax = =  j ( j 1,2,3)均有解. 三、向量组的等价 证明 例6 证明：向量组 1 2 3 B : , ,    可由向量组 1 2 A: ,   线性表示

三、向量组的等价第3章向量空间与线性方程组解的结构23对增广矩阵实施初等行变换，有(α,α.lp.β,p.)可见，三个方程组4x=β,(/=1,2,3)的解分别为()，()，()于是有X=因此向量组B可由向量组A线性表示，使得AX=B

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 23 对增广矩阵实施初等行变换，有 ( 1 2 1 2 3 ) 1 2 3 3 1 1 0 1 1 1 , , , 1 0 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0  − − −        = − − −          ， 可见，三个方程组 Ax = =  j ( j 1,2,3)的解分别为 1 1       − ， 1 2       ， 1 1       . 于是有 1 1 1 1 2 1   =     − X ，使得AX B= . 因此向量组 B 可由向量组 A 线性表示. 三、向量组的等价

三、向量组的等价第3章向量空间与线性方程组解的结构24例7已知向量组4:αB:8证明：向量组A:α.αα.和向量组B:β.β.β等价证明令矩阵A=(α,α,α），B=(B,β,β），设BX=A.由1100R02(,)=010005-1-123矩阵方程BX=A有解Y=因此，向量组A能由向量组B线性表示002

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 24 已知向量组 1 2 3 1 1 1 : 0 , 1 , 2 1 2 5 A       −       = = =                   −    和 1 2 3 1 0 1 : 1 , 1 , 0 0 1 1 B             = = =                      ， 令矩阵 =    ( 1 2 3 , , )， =    ( 1 2 3 , , )，设BX A = . 由 ( 1 2 3 1 2 3 ) 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 , , , , 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 1 1 2 5 0 0 1 0 0 2  −   − −      = − −           ， 矩阵方程BX A = 有解 1 1 1 1 2 3 0 0 2   − −   = −      X ， 因此，向量组 A 能由向量组 B 线性表示. 三、向量组的等价 证明 证明：向量组 1 2 3 A: , ,    和向量组 1 2 3 B : , ,    等价. 例7

三、向量组的等价第3章向量空间与线性方程组解的结构25另一方面，由于1--23=2±0,2200P01-1-1273R可逆，于是有4所以矩阵002200即向量组B能由向量组A线性表示，所以这两个向量组等价

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 25 所以矩阵 1 1 1 1 2 3 0 0 2   − −   −       可逆，于是有 1 1 1 1 1 2 3 0 0 2 −   − −   − =       A B， 即向量组 B 能由向量组 A 线性表示， 所以这两个向量组等价. 三、向量组的等价 另一方面，由于 1 1 1 1 1 1 1 2 3 0 1 2 2 0 0 0 2 0 0 2 − − − − − = = 