《工程数学（线性代数）》课程教学资源（PPT课件）第3章 向量空间与线性方程组解的结构

目录/Contents?兰3.1向量组及其线性组合3.2向量组的线性相关性3.3向量组的秩与矩阵的秩3.4线性方程组解的结构3.5向量空间

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 26 目录/Contents 3.1 3.2 3.3 3.4 向量组及其线性组合 向量组的秩与矩阵的秩 线性方程组解的结构 3.5 向量空间 向量组的线性相关性

目录/Contents?兰3.2向量组及其线性组合一、向量组的线性相关与线性无关二、向量组线性相关性的一些重要结论

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 27 目录/Contents 3.2 向量组及其线性组合 一、向量组的线性相关与线性无关 二、向量组线性相关性的一些重要结论

一、向量组的线性相关与线性无关第3章向量空间与线性方程组解的结构28定义设有m个n维向量构成的向量组α,α,α，如果存在一组不全为零的数k,k,，.,k使得ka+k,α,+.+k.am=0则称向量组α,αz,αm线性相关；若当且仅当k=kz==km=0时，才有kα+kα+.+k.α=0，则称向量组α,αz,"",αm线性无关13-例1对于向量组5，存在一组不全为零的数2，-1,0，使得a==a2713.02α,-α, +0α, =20所以向量组ααα，线性相关7

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 28 设有 m 个 n 维向量构成的向量组    1 2 , , , ，如果存在一组不全为零 m 的数 k k k 1 2 , , , m ，使得 1 1 2 2 m m k k k    + + + = 0 则称向量组    1 2 , , , m 线性相关； 若当且仅当 k k k 1 2 = = = = m 0 时，才有 1 1 2 2    + + + = 0, m m k k k 例1 对于向量组 1 2 3 1 2 3 1 , 2 , 5 1 2 7             = = =                      ，存在一组不全为零的数 2, 1, 0 − ，使得 1 2 3 1 2 3 2 0 2 1 2 0 5 1 2 7                − + = − +  =       0, 定 义 则称向量组 1 2 线性无关. , , ,    m 所以向量组 线性相关. 1 2 3    , , 一、向量组的线性相关与线性无关

一、向量组的线性相关与线性无关第3章向量空间与线性方程组解的结构29而对于向量组e对任意一组数k,kz,",k，有ke, +k,e, +...显然，当且仅当k=k,=·.=k,=0时，才有ke+ke,++ke,=0所以向量组er,e2,"en线性无关

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 29 对任意一组数 k k k 1 2 , , , n ，有 1 2 1 1 2 2 1 2 1 0 0 0 1 0 . 0 0 1 e e e                 + + + = + + + =         n n n n k k k k k k k k k 显然，当且仅当 k k k 1 2 = = = = n 0 时，才有 k k k 1 1 2 2 e e e + + + = n n 0 ， 所以向量组 1 2 线性无关. , , , n e e e 1 2 1 0 0 0 1 0 , , , 0 0 1 n                   = = =                   而对于向量组 e e e , 一、向量组的线性相关与线性无关

>>>>一、向量组的线性相关与线性无关第3章向量空间与线性方程组解的结构30特别地，当向量组只含有一个向量α时，若α0，则只有k=0时才有kα=0,所以α01OPTION线性无关；02若α=0，则对任意非零常数k，都有kα=0，所以α线性相关OPTION

第3章 向量空间与线性方程组解的结构 30 特别地， 当向量组只含有一个向量 时，若 ，则只有 时才有 ，所以 线性无关；    0 k = 0 k = 0  01 OPTION 若  = 0 ，则对任意非零常数 k ，都有 k = 0 ，所以  线性相关. 02 OPTION 一、向量组的线性相关与线性无关