>>>二、向量组及其线性组合第3章向量空间与线性方程组解的结构16例4设有向量α=及向量组B试问α能否由βββ线性表示16解设xβ+x,β,+x,β,=α，由站。13+(-1)m0222+(-1)2n+n0[x =5+c,：2=-1-c，，其中为任意常数.因此α能由B.ββ线性表示可知方程组有无穷多解：x=c且表示式不唯一：α=(5+c)β+(-1-c)β+cβ，其中C为任意常数
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 16 设有向量 5 3 6 = − 及向量组 1 2 3 1 0 1 1 , 2 , 1 1 1 2 − = = = − ，试问 能否由 1 2 3 , , 线性表示. 设x x x 1 1 2 2 3 3 + + = ，由 ( ) ( ) 2 2 1 3 1 3 2 1 1 2 1 1 0 1 5 1 0 1 5 1 0 1 5 1 2 1 3 0 2 2 2 0 1 1 1 1 1 2 6 0 1 1 1 0 0 0 0 r r r r r r r + − + + − − − − ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ − − − − ， 可知方程组有无穷多解： 1 2 3 5 , 1 , x c x c x c = + = − − = ，其中c 为任意常数. 因此 能由 1 2 3 , , 线性表示， 且表示式不唯一： = + − − (5 + 1 + c c c ) 1 2 3 ( ) ，其中 c 为任意常数. 二、向量组及其线性组合 例4 解
二、向量组及其线性组合第3章向量空间与线性方程组解的结构17例5而B设向量组4，问：向量β能否由向量组ααα线性表示？若可以，求出线性表达式。解设xx+=β，由(aj,az,as,β)可知线性方程组无解，所以向量β不能由向量组α,α,α线性表示
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 17 设 x x x 1 1 2 2 3 3 + + = ， 由 ( 1 2 3 ) 1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5 , , , 0 1 2 4 0 1 2 4 0 1 2 4 2 5 4 7 0 1 2 3 0 0 0 7 − − − = → → − − − − − 可知线性方程组无解，所以向量 不能由向量组 1 2 3 , , 线性表示. 二、向量组及其线性组合 解 例5 设向量组 1 2 3 1 2 3 0 , 1 , 2 2 5 4 − = = = − − ， 而 5 4 7 = − ，问：向量 能否由向量组 1 2 3 , , 线性表 示？若可以，求出线性表达式
三、向量组的等价第3章向量空间与线性方程组解的结构18定义5设A:α.α..α是m个n维向量组成的向量组而B:β,β.β是s个n维向量组成的向量组如果向量组B中每一个向量βj=1,2,.,s)均可由向量组A：α.α...α线性表示则称向量组B.ββ.B.可由向量组A.α.αα.线性表示如果向量组A与向量组B可以相互线性表示，则称向量组A与向量组B等价若向量组B..ββ可由向量组A.α.α.α线性表示则对向量组B中每一个向量β,(j=1,2,s），存在一组数k,2j,，使得k(i=12.....s)B,=ka,+k,a,+..+kmam.=(ai,a2,..,amk
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 18 设A: 1 2 , , , m 是m个 n 维向量组成的向量组，而B: 1 2 , , , s 是 s 个 n 维向量组成的向量组. 向量 ( 1,2, , ) j j s = 均可由向量组 A: 1 2 , , , 如果向量组 B 中每一个 m 线性表示， 则称向量组B: 1 2 , , , s 可由向量组 A: 1 2 , , , m 线性表示. 如果向量组 A 与向量组 B 可以相互线性表示， 则称向量组 A 与向量组 B 等价. 若向量组B: 1 2 , , , s 可由向量组 A: 1 2 , , , m 线性表示， 则对向量组 B 中每一个向量 ( 1,2, , ) j j s = ，存在一组数 1 2 , , , j j mj k k k ，使得 1 2 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) ( 1,2, , ). j j j j j mj m m mj k k k k k j s k = + + + = = 三、向量组的等价 定义 5
三、向量组的等价第3章向量空间与线性方程组解的结构19kuS以向量为列，得到一个mxs矩阵K(kki2kis..k21k22kzsK..kmlk.m2k.矩阵Kmxs称为这一线性表示的系数矩阵令矩阵A=(α,",%），B=(B.B…,β），则有B=AK,mx
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 19 以向量 1 2 j j mj k k k 为列，得到一个 m s 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 . s s m s m m ms k k k k k k k k k = K 矩阵 K m s 称为这一线性表示的系数矩阵. 令矩阵 = ( 1 2 , , , m )， = ( 1 2 , , , s )，则有 . B AK = m s 三、向量组的等价
三、向量组的等价?第3章向量空间与线性方程组解的结构20定理2设Aα.α.α是m个n维向量组成的向量组而Bβ.Bβ是s个n维向量组成的向量组令矩阵A=（α.a），B=（B.BB），则向量组B可由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵方程AX=B有解向量组与向量组B等价的充分必要条件是矩阵方程AX=B与BY=A同时有解
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 20 设 A: 1 2 , , , m 是 m 个 n 维向量组成的向量组，而 B: 1 2 , , , s 是 s 个 n 维向量组成的向量 组. 令矩阵 = ( 1 2 , , , m )， = ( 1 2 , , , s )，则向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充分必要条 件是矩阵方程 AX B= 有解. 向量组A与向量组 B 等价的充分必要条件是矩阵方程 AX B= 与BY A = 同时有解. 三、向量组的等价 定理 2