>>>二、向量组及其线性组合第3章向量空间与线性方程组解的结构11定义3给定n维向量组ααz"α，对于任意一组数k,k"",k，表达式ka+k,a,+..+k,an称为该向量组的一个线性组合定义4给定n维向量组α,αα和一个n维向量β如果存在一组数k,…,k，使得β=k,a,+k,a,+..+k,a,则称向量β可由向量组αα，.α线性表示或者说向量β是向量组α,α"α的一个线性组合
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 11 给定 n 维向量组 1 2 , , , n，对于任意一组数 1 2 , , , n k k k ，表达式 1 1 2 2 + + + n n k k k 称为该向量组的一个线性组合. 给定 n 维向量组 1 2 , , , n 和一个n维向量 ，如果存在一组数 1 2 , , , n k k k ，使得 1 1 2 2 + + + n n = k k k ， 则称向量 可由向量组 1 2 , , , n 线性表示， 或者说向量 是向量组 1 2 , , , n 的一个线性组合. 二、向量组及其线性组合 定义 3 定义 4
二、向量组及其线性组合第3章向量空间与线性方程组解的结构12例如，给定向量组αα，α，，则向量2α-α,+/3α,,α, +0α,+0α,(=α),0α,+α,+0α(=α)0α+0α+α=α),0α+0α,+0α(=0都是向量组α.α.α的线性组合由此可见一个向量组可以线性表示这个向量组中的每一个向量零向量是任意一个向量组的线性组合
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 12 例如，给定向量组 1 2 3 , , ，则向量 1 2 3 − + 3 ， 1 2 3 1 + + = 0 0 ( )，0 0 1 2 3 2 + + =( )， 0 0 1 2 3 3 + + =( )， + + = 1 2 3 0 0 ( 0) 都是向量组 1 2 3 , , 的线性组合. 二、向量组及其线性组合 由此可见， 一个向量组可以线性表示这个向量组中的每一个向量， 零向量是任意一个向量组的线性组合
二、向量组及其线性组合第3章向量空间与线性方程组解的结构13(1例3设向量组aan则任一向量都可由ee.e线性表示α=:a.C即=ae,+ae+..+a,en.-0
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 13 设向量组 1 2 1 0 0 0 1 0 , , , 0 0 1 n = = = e e e ， 则任一向量 即 1 2 1 2 1 1 2 2 1 0 0 0 1 0 . 0 0 1 n n n n a a a a a a a a a = = + + + = + + + e e e 二、向量组及其线性组合 例3 1 2 n a a a = 都可由 1 2 , , , n e e e 线性表示
>>>二、向量组及其线性组合第3章向量空间与线性方程组解的结构14定理1向量β可由向量组ααα（唯一）线性表示的充分必要条件是线性方程组xα+xα#:★α=β有（唯一）解证明如果向量β可由向量组α.αs.",α线性表示，则存在一组数k,k…,k。，使得k,α,+k,α,+...+k,α, =β这表明线性方程组xα+x,α,++x,α,=β有解k,kzX.k
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 14 向 量 可由向量组 1 2 , , , n （唯一）线性表示的充分必要条件是线性方程组 1 1 2 2 + + + n n x x x = 有（唯一）解. 如果向量 可由向量组 1 2 , , , n 线性表示， 则存在一组数 1 2 , , , n k k k ， 使得 1 1 2 2 + + + n n k k k = 这表明线性方程组 1 1 2 2 + + + n n x x x = 有解 1 1 2 2 . n n x k x k x k = 二、向量组及其线性组合 证明 定理 1
二、向量组及其线性组合第3章向量空间与线性方程组解的结构15反之，如果线性方程组kxk,Xx,a,+x,aα,+...+x,a,=β有解....Tx即k,a,+k,a,+...+k,a,=β,从而向量可由向量组α.α.α线性表示
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 15 反之，如果线性方程组 1 1 2 2 + + + n n x x x = 有解 1 1 2 2 n n x k x k x k = ， 即 1 1 2 2 + + + n n k k k = ， 从而向量 可由向量组 1 2 , , , n线性表示. 二、向量组及其线性组合