(3)求导公式与法则厂一实函数中求导法则的推广由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致，并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样。因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来，且证明方法也是相同的。1)常数(复常数)的导数：c'=(a+ib)'=0(zl)'=nzn-1 (n是自然数)证明②对于复平面上任意一点zo，有z" -2°△wlim= lim（分子分解因式）Az2202>20Z-Zo(2 - 0)(2"- + 2"-2 ++ *0= nzg-= lim2→20Z-Zo11
- 11 - (3)求导公式与法则 ① 常数(复常数)的导数： c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数). 证明② 对于复平面上任意一点 z0，有 0 0 0 0 0 12 1 0 00 1 0 0 lim lim ( )( ) lim n n zz zz nn n n z z w z z z zz zz z z z z nz z z —实函数中求导法则的推广 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在 形式上完全一致，并且复变函数中的极限运算法则也和实变函 数中一样。因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来，且证明方法也是相同的。 （分子分解因式）
设函数f(z),g(z)均可导，则[f ()±g ()]'=f'(z)±g'(),[f (z)g(z)] '= f (z)g(z) + f (z)g'(z)f(z) ' f'(z)g(z)- f(z)g'(z)(g(z) ± 0)g(z)L g(z),由以上讨论二P(z)=α+az+.+a,z"(多项式函数)在整个复平面上处处可导;P(有理分式函数)在复平面上（除分母为0点外）处处可导。R(2) =Q(z)12
- 12 - ③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则 [f (z)±g (z)] =f (z)±g (z)， [f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g (z) , ( ( ) 0) ( ) ' '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 2 g z g z f z g z f z g z g z f z 0 1 ( ) ( ) () 0 ( ) n P z a az azn P z R z Q z 由以上讨论 (多项式函数)在整个复平面上处处可导； (有理分式函数)在复平面上（除分母为 点外）处处可导
④复合函数的导数：(f [g(z)l)=f"(w)g(z),满足链式法则其中w=g(z)。1③反函数的导数：f(z)：p'(w)其中：w=f(z)与z=β(w)是互为反函数的单值函数且g(w)0。13
- 13 - ④ 复合函数的导数： ( f [g(z)]) =f (w)g(z)， 其中w=g(z)。 ⑤ 反函数的导数： ， 1 ( ) '( ) f z w 其中: w=f (z)与z=(w)是互为反函数的单值函数， 且 (w)0。 满足链式法则
z=x+iy,Az=Ar+iyzz =|z 12m思考题实函数中,f(x)=x在(-o0,+0)内可导;结论：仅在z=0处可导！复函数中，f(z)=z的可导性？A解： lim(+)-()=lim(+)+-=lim++2KAzz4-04-→04→0若=0 =0. m G+42-(a) m +±+ 0AzAz4->04=0若z0,令zz沿直线-=k(x-x)趋于z(即z→0)AyA1-kiAx-△yiAx由于的任意性不趋于确定的值Ay1+kiAzAx+Ayi1→Ar即若z。≠0,极限不存在综上，f(2)=z2仅在z=0处可导，其它点不可导14
- 14 - , ( ) ? , ( ) ( , ) ; 2 2 复函数中 的可导性 实函数中 在 内可导 f z z f x x 思考题 结论：仅在z=0处可导！ 0 0 0 0 00 0 0 00 0 ( ) () ( ) lim lim lim zz z f z z f z z zz z zz z z zz zz z 0 0 0 00 0 0 ( ) () 0, lim lim 0 z z fz z fz z z z zz z z 若 解： 0 0 0 00 0, ( ) ( 0) 1 1 = 1 1 z z z y y kx x z z y i z x yi ki x k z x yi ki y i x 若 令 沿直线 趋于 即 由于 的任意性， ，不趋于确定的值 0 即若 极限不存在 z 0, 2 综上， 仅在 =0处可导，其它点不可导 fz z z () | | 2 z= x+iy, Δz=Δx+iΔy z z z | |
已知 f(z)=(z2 +5z)2例2求f'(z)z-1(fIg(z)l=f(g(z))g(z)1解f(=) = 2(2? +52)(2z +5)+[]-00@,()(z- 1)2g(z)例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导?z= x+iy,f(z+ △z)- f(z)Az=Ax+iAy解:limAzAz-→0x+ Ax+2(y+Ay)i-(x+2yi)= limAz-→0Ax + iAy当Ay=0,Ax→0时Ax +2Ayi= lim.极限不存在！当△x=0,Ay→0时Az->0Ax+Ayi2故函数f(z)=x+2yi处处不可导！！一个复变函数的实部和虚部处处可导，但此复变函数可能处处不可导。15
- 15 - 例3 问：函数 f (z)=x+2yi 是否可导？ 0 2 1 0, 0 lim ! z 2 0, 0 x yi y x x yi x y 当 时 极限不存在 当 时 2 2 1 () ( 5) () 1 f zzz f z z 例2 已知 ，求 解 2 2 1 ( ) 2( 5 )(2 5) ( 1) fz z z z z x i y x x y y i x yi z f z z f z z z 2( ) ( 2 ) lim ( ) ( ) lim 0 0 解 故函数 f z x yi () 2 处处不可导！ ！一个复变函数的实部和虚部处处可导，但此复变函数可能处处不可导。 z= x+iy, Δz=Δx+iΔy ( f [g(z)]) =f (g(z))g(z) , ( ( ) 0) ( ) ' '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 2 g z g z f z g z f z g z g z f z