《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第四章 随机变量的数字特征（4/4）

第四章随机变量的数字特征$5矩·矩·二维正态分布的性质

§5 矩 第四章 随机变量的数字特征 •矩 •二维正态分布的性质

第四章$5矩随机变量的数特征一、矩的定义若EXk存在，称之为X的K阶原点矩若 E(XEX)存在，称之为 X的 k阶中心矩若 E(X-EX)"(Y-EY)存在，称之为 X和 Y的k+I阶混合中心矩所以EX是一阶原点矩，DX是二阶中心矩，协方差Cov(X，Y)是二阶混合中心矩

一、矩的定义 第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 若EX 存在，称之为X的k阶原点矩. k 若 存在，称之为 X 的 k 阶中心矩. k E(X  EX ) 若 存在，称之为 X 和 Y 的k+l 阶混合中心矩. k l E(X  EX ) (Y  EY ) 所以 EX 是一阶原点矩，DX 是二阶中心矩， 协方差Cov(X，Y)是二阶混合中心矩

第四章随机变量的数字特征$5矩设随机变量X～N(o，1)，试求 E(x")例1解FE(x0)- x1(x)ax-2 [xedxN(1)当n为奇数时，由于被积函数是奇函数，所以E(x")- 0.(2)当n为偶数时，由于被积函数是偶函数，所以x+82EX"n[x"e 2 dx-/2元x2=t,则x=/2Vt-241，dx=21/dt令2

第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 例 1 设随机变量 X ~ N0， 1，试求 EX n ． 解   n E X       x f x x n d      x e x x n d 21 22  ⑴ 当 n为奇数时，由于被积函数是奇函数，所以 EX n   0． (2)当n为偶数时，由于被积函数是偶函数，所以      0 2 d 22 2 EX x e x x n n  , 22 t x 令  2 2 , 21 21 则 x  t  t dx 2 t d t 21 21   

第四章随机变量的数字特征+8n1n2L2 t2222e-tdtEXn2元0nn+1+822C2e-dtTV元0n22n+ 1r(二2√元其中[xt-le-*dx.r(t)=

第四章 随机变量的数字特征        0 2 1 2 2 1 2 2 d 2 2 EX t e t t n n n        0 1 2 1 2 d 2 t e t t n n  ) 2 1 ( 2 2    n n  ( ) d . 0 1 t x e x t  x    其 中  

第四章随机变量的数字特征$5矩利用-函数的性质：「(r+1)=r()，得（))=E(x")2V元22n-1n-3("3)T222V元22n-3n-1)22元22(n-1) 元=(n-1)!23V元

第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 利用 函数的性质： r  1  r r，得              2 1 2 2 1 2 n n E X n n               2 3 2 3 2 2 1 2 n n n n                2 1 2 1 2 3 2 2 1 2  n n n      2 2 2 2 1 !! n n n     n  1!!