(1)△z→0是在平面区域上以任意方式趋于零。所以使复变函数的可导性具有许多独特性质和应用(2) z=x+iy, △z=△x+iy, △f(或△w)=f(z+△z)-f()例1 证明：f(z)=Re(2)在平面上的任何点都不可导AfRe(z + △z)-Re(z)证明limlimAzAz→04-→0△z△xx+△x-xlim= limAz0Az→0 Ax+iy△x +iy当△z取实数趋于0时,f/△z→1;Af不存在。= lim当△z取纯虚数趋于0时,Af/△z→0;Az4z-→>0极限不存在，处处不可导注：或者以△1k△x方式，让△-趋于C
-6- (1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 所以使复变函数的可导性具有许多独特性质和应用。 (2)z= x+iy, Δz=Δx+iΔy, Δf(或Δw)=f(z+Δz)-f(z) 例1 证明 在平面上的任何点都不可导 : ( ) Re( ) . fz z 0 0 Re( ) Re( ) lim lim z z f zz z z z 0 0 lim lim z z x xx x x iy x iy 0 , 1; 0 , 0; z fz z fz 当 取实数趋于 时 当 取纯虚数趋于 时 0 limz fz 不存在。 证明 极限不存在， ∴处处不可导 注：或者以∆y=k ∆x方式，让∆z趋于0
dvf(o +)-f(=0)limA0Adt例求 f(z)=z的导数解按照导数的定义f(z+△z)- f(z)limAz4-->0(z+N) -z?=lim= lim(2z+z)= 2zz>0>0
-7- 2 例 求 的导数 fz z () . 解 0 2 2 0 0 ( ) () lim ( ) = lim = lim(2 ) 2 z z z fz z fz z zz z z z z z 按照导数的定义 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim z z z dw fz z fz f z dz z
dhf( +)-f(z0)-limf'(.A0Ad(2)可导与连续的关系若 w=f(z) 在点 zo处可导>W=f(z)在点 zo处连续2证明:若f(z)在z.可导,则Vε>0,3S>0f(zo +z)- f(20) 使得当0<△z<时,有Z.<8Az令p(<s)= (G +)- (c) - (0),则 lim (s) =0.Az>0p(=)是关于△-的高阶无穷小由此可得f(z+z)-f(zo)= f(zo)△z+(z)z,量（当趋于0）上式两边取极限,limf(z。+△z)=f(zo),:.f(z)在z.连续Az-注意：可导一定是连续的。但连续却不一定可导。8
-8- (2)可导与连续的关系 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z)在 点 z 0 处连续. ? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 000 0 ( ) , 0, 0, ( ) () 0 , () , ( ) () ( ), lim 0, ( ) () () , lim ( ) ( ), ( ) : z z fz z fz z fz z fz z fz z fz z fz z z fz z fz f z z z z fz z fz fz z 若 在 可导 则 使得当 时 有 令 则 由此可得 上式两边取极限， 在 证明 连续 注意：可导一定是连续的。但连续却不一定可导。 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim z z z dw fz z fz f z dz z ρ(Δz) Δz是关于 Δz的高阶无穷小 量(当Δz趋于0)
设f(=)=u(x.y)+i(xy)在=。=x+iy处连续limu(x,y)=u(xo,yo)BLo-J0limv(x,y)=v(Xo.yo)(x.y)(1o.30)例?考查f(2)=2的连续性与可导性解：i设z=x+iy,则z=x-iy，显然f(z)=z是连续的根据导数定义z+zAx-iAyf(z+)-f()Z= lim limf(z)= limAz>0A-0Ax+iy40若我们设沿△=k△x，使z→0Ar-ik△x1-ikk是任意的，值不确定，=lim即极限不存在A-0△x+ik△x1+ik:f(z)=z极限不存在，虽然处处连续，但处处不可导
-9- 0 ( ) () ( ) lim z f z z fz f z z 考查 的连续性与可导性 fz z ( ) 0 0 lim lim z z z z z x iy z x iy 0 1 lim z 1 x ik x ik x ik x ik 若我们设沿 ，使 y kx z 0 ∴ 极限不存在，虽然处处连续，但处处不可导 根据导数定义 解： 设z x iy z x iy f z z ,则 ，显然 ( )= 是连续的 例 f( )= z z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 lim v x, y v x , y lim u x, y u x , y z x iy f z u x, y iv x, y x ,y x ,y x ,y x ,y 在 处连续 设 k是任意的，值不确定， 即极限不存在
派(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为△z→0是在平面区域上以任意方式趋于0的缘故。2)在高等数学(实变函数)中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的，但在复变函数中，却轻而易举。-10-
- 10 - (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为Δz→0是在平面区域上 以任意方式趋于0的缘故。 (2) 在高等数学(实变函数)中要举出一个处处 连续，但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举