例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导。(z+ z) Re(z + △z) - z Re z证明limAzz→0Az Re(z + △z)+ z Re △z= limAzAz→0Az Re Azz= 0时=0limAzAz-→0Axlim (Re(z + △z) +))不存在！z±0时Ax+iAyAz-→0当Ay= 0,△x→0时Ax:.z≠0时极限不存在！: lim当△x =0,△y→0时A→0 △x+iyO故f(z)=zRez，只在z=0处才可导16-
- 16 - 例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。 不存在 时 时 lim (Re( ) ) ! 0 0 0 Re lim 0 0 z x i y x z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Re( ) Re lim ( )Re( ) Re lim 0 0 证明 0 1 0, 0 lim 0 z 0 0, 0 x y x z x iy x y 当 时 时极限不存在！ 当 时 故f (z)=zRez，只在z=0处才可导
(4)复变函数的微分复变函数的微分概念，在形式上与一元实变函数的微分概念完全一样。设函数w=f(z)在 zo的某邻域内有定义。若存在不依赖于△z的常数A，满足当z+△z也在此邻域时，总有：Aw= f(z +z)- f(zo)= Az+p(△z)z,其中 lim p(z)= 0Zp()是关于的高阶无穷小量（当△趋于0）那么就称函数w=f()在z可微。A△z叫做函数w=f(z)在zo处相应于自变量增量△z的微分记作dw=A△z.注：这里A其实就是f(=o）。17
- 17 - (4)复变函数的微分 设函数w=f (z)在 z0的某邻域内有定义。若存在不依赖于 Δz的常数A，满足当z0 +Δz也在此邻域时，总有: 0 0 0 ( ) ( ) , lim 0, z w fz z fz Az z z z 其中 那么就称函数w=f (z)在 z0可微。 AΔz叫做函数w=f (z)在z0处相应于自变量增量Δz的微分， 记作dw= AΔz. 复变函数的微分概念，在形式上与一元实变函数的微分概念完全一样。 ρ(Δz) Δz是关于Δz的高 阶无穷小量(当Δz趋于0) 注：这里A其实就是f '(z0)
与实变函数类似：（1）对于自变量z来说，dz=△z（2）函数w=f()在zo处可导与可微是等价的，并且有dw=f'(zo)dz（3）如果函数w=f(z)在区域D内每一点都可微，则称w=f(z)在区域D内可微。注：复变函数导数的概念，微分的概念，连续的概念，极限的定义形式上和一元函数完全类似。所以它们的相互关系和一元函数是一样的。可导连续可微极限存在-18-
- 18 - 与实变函数类似： （1）对于自变量z来说，dz=Δz （2）函数w=f (z)在 z0处可导与可微是等价的，并且 有dw=f '(z0)dz （3）如果函数w=f (z)在区域D内每一点都可微，则 称w=f (z)在区域D内可微。 极限存在 连续 可导 可微 注：复变函数导数的概念，微分的概念，连续的概念，极限的定义形 式上和一元函数完全类似。所以它们的相互关系和一元函数是一样的
解析函数的概念定义如果函数w=f(z)在z及z的某个邻域内处处可导，则称f()在z解析;如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数（全纯函数或正则函数）。如果f(z)在点zo不解析，就称z是f(z)的奇点。注：解析是比可导要求更强的一个条件（解析要求条件高）：因为解析要求在z及z的邻域内可导-19
- 19 - 二. 解析函数的概念 定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。 如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。 注：解析是比可导要求更强的一个条件（解析要求条件高）， 因为解析要求在z0及z0的邻域内可导
注意：区域D内指的是开区域D内。江在D内可导。(1) W=f(z)在D 内解析(2)函数f(z)在zo 点可导，未必在 z解析。例如(1)W=z2，在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数：(2)W=1/z，除去z=0点外处处可导，故在除去z=0点外的复平面上解析；（一般让分母=0的点都是奇点)(3)w=zRez，在整个复平面上处处不解析(见前述例4，虽然在z=0可导，但不解析)。：解析要求在=及=的邻域内可导- 20 -
- 20 - 例如 (1) w=z2 ，在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外处处可导，故在除去z=0点外 的复平面上解析；(一般让分母=0的点都是奇点) (3) w=zRez ，在整个复平面上处处不解析(见前述例4 ，虽然在z=0可导，但不解析)。 (1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在 z0解析。 ⸪解析要求在z0及z0的邻域内可导 注意：区域D内指的是开区域D内