rolle定理常被用来讨论一个函数及其导函数在某范围中的零点 问题。 例5.1.1如下定义的函数 1 d p, (x) zmnl(x-1 l)”(n=0,1,2,…) 被称为n次 Legendre多项式,证明pn(x)在(-1)上恰有n个不同的根
Rolle定理常被用来讨论一个函数及其导函数在某范围中的零点 问题。 例 5.1.1 如下定义的函数 1 2 ( ) ( 1) ( 0,1, 2, ) 2 ! n n n n n px x n n x = −= " dd 被称为n次Legendre多项式，证明 p x n ( )在( ,) −1 1 上恰有n个不同的根
Roll定理常被用来讨论一个函数及其导函数在某范围中的零点 问题。 例5.1.1如下定义的函数 1 d P,(x) 2 n dx 被称为n次 Legendre多项式,证明p(x)在(-1,1)上恰有n个不同的根 证 )=-(x2-1)”(m=0,1,2,…,n-1) 中都含有(x2-1)因子,即当m<n时,qnn(x)都有实根-1和1 q2(x)=(x2-1y,因此-1和1是它仅有的两个相异的根。由Roll定 理,qn(x)=q(x)在(-1,1)中必有一个根,将它记为x1 q2n(x)在[-1,1上至少有三个相异的根:-1,x1和1。再由Rle 定理,q2n2(x)=9hn1(x)在(-1,x1)和(x1,1)中至少各有一个根,将它们 记为x2和x2 q2n2(x)在[-1,1上至少有四个相异的根:-1,x2,x2和1
证 2 2 ( ) ( 1) ( 0,1, 2, , 1) m n n m m qx x m n x − ≡ −= − " d d 中都含有( ) x 2 −1 因子，即当m n < 时，q x 2n m− ( )都有实根-1和1。 qx x n n 2 2 () ( ) = −1 ，因此-1和1是它仅有的两个相异的根。由Rolle定 理，q x qx 21 2 n n − () () = ′ 在( ,) −1 1 中必有一个根，将它记为 x11。 q x 2 1 n− ( )在[ ,] −1 1 上至少有三个相异的根：-1， x11和1。再由Rolle 定理，q xq x 22 21 n n − − () () = ′ 在(, ) −1 11 x 和( ,) x11 1 中至少各有一个根，将它们 记为 x21和x22。 q x 2 2 n− ( )在[ ,] −1 1 上至少有四个相异的根：-1， x21，x22和1。 Rolle定理常被用来讨论一个函数及其导函数在某范围中的零点 问题。 例 5.1.1 如下定义的函数 1 2 ( ) ( 1) ( 0,1, 2, ) 2 ! n n n n n px x n n x = −= " dd 被称为n次Legendre多项式，证明 p x n ( )在( ,) −1 1 上恰有n个不同的根
反复使用Roll定理,运用数学归纳法可以证明: gn(x)在[-1,1至少有n+1个相异的根,最后再用一次 Rolle 定理,便知qn(x)=qn1(x)在(-1,1)中至少有n个相异的根。 由于q(x)是n次多项式,它在(-1)中至多只能有n个根,因此, qn(x)在(-1,1)中恰有n个根 因为p(x)与q(x)只相差一个系数,所以以上结论对于p(x)也是 成立的。 Legendre多项式是数学物理中一个重要的特殊函数
反复使用Rolle定理，运用数学归纳法可以证明： q x n+1( )在[ ,] −1 1 上至少有n +1个相异的根，最后再用一次Rolle 定理，便知qx q x n n () () = ′+1 在( ,) −1 1 中至少有n个相异的根。 由于q x n ( )是n次多项式，它在( ,) −1 1 中至多只能有n个根，因此， q x n ( )在( ,) −1 1 中恰有n个根。 因为 p x n ( )与q x n ( )只相差一个系数，所以以上结论对于 p x n ( )也是 成立的。 Legendre多项式是数学物理中一个重要的特殊函数
Lagrange中值定理 定理5.1.3 Lagrange中值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b上连 续,在开区间(a,b)上可导,则至少存在一点ξ∈(anb),使得 f(2 f(b)-f(a b
Lagrange中值定理 定理5.1.3(Lagrange中值定理) 设函数 f x( )在闭区间[, ] a b 上连 续，在开区间(, ) a b 上可导，则至少存在一点ξ ∈(,) a b ，使得 () () ( ) f b fa f b a ξ − ′ = −
Lagrange中值定理 定理5.1.3 Lagrange中值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b上连 续,在开区间(a,b)上可导,则至少存在一点ξ∈(anb),使得 f分≈J(b)-/(a) 证作辅助函数 0(x)=f(x)-f(a) f(b-f(a) (x-a),x∈[a,b] 6-a 则函数(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导,并且有 (a)=0(b) 由Role定理,至少存在一点∈(a,b),使得o()=0。对∞(x)的表达式 求导并令()=0,整理后便得到 ∫(g)= f(b)-f(a) b 证毕
证 作辅助函数 () () () () () ( ), [ , ] fb fa x f x f a x a x a b b a ϕ − = − − −∈ − ， 则函数ϕ( ) x 在闭区间[, ] a b 上连续，在开区间(, ) a b 上可导，并且有 ϕ() () 0 a b = ϕ = ， 由Rolle定理，至少存在一点ξ ∈(,) a b ，使得ϕ′() 0 ξ = 。对ϕ( ) x 的表达式 求导并令ϕ′() 0 ξ = ，整理后便得到 () () ( ) fb fa f b a ξ − ′ = − 。 证毕 Lagrange中值定理 定理5.1.3(Lagrange中值定理) 设函数 f x( )在闭区间[, ] a b 上连 续，在开区间(, ) a b 上可导，则至少存在一点ξ ∈(,) a b ，使得 () () ( ) fb fa f b a ξ − ′ = −