§3有理函数的不定积分及其应用 有理函数的不定积分 形如2n(x的函数称为有理函数,这里p(x)和④(x)分别是m次和 q,(x) n次多项式。在本节中,我们将通过介绍求一般有理函数的不定积分 的方法,证明这样的一个结论:有理函数的原函数一定是初等函数。 求有理函数的不定积分是我们在实际应用中经常遇到的问题。此 外,对于求某些其他类型函数的不定积分,如无理函数、三角函数的 不定积分问题,也可以通过适当的变换化成求有理函数的不定积分问 题而得到解决
有理函数的不定积分 形如 p x q x m n ( ) ( ) 的函数称为有理函数，这里 p x m ( )和q x n ( )分别是m次和 n次多项式。在本节中，我们将通过介绍求一般有理函数的不定积分 的方法，证明这样的一个结论：有理函数的原函数一定是初等函数。 求有理函数的不定积分是我们在实际应用中经常遇到的问题。此 外，对于求某些其他类型函数的不定积分，如无理函数、三角函数的 不定积分问题，也可以通过适当的变换化成求有理函数的不定积分问 题而得到解决。 §3 有理函数的不定积分及其应用
在考虑有理函数的不定积分∫2时,我们总假定(是真 q(x) 分式,即成立m<n。因为不然的话,可以通过多项式的带余除法,使 得 pm( r(x) (x) q, (x qn(x 其中pn(x)是m-n次多项式,而r(x)是次数不超过n-1的多项式。这 样就得到 Pm (x r(x pm(x)dx+ 为了讨论的方便,我们假定qn(x)的最高项系数为1
在考虑有理函数的不定积分 ( ) ( ) m n p x x q x ∫ d 时，我们总假定 p x q x m n ( ) ( ) 是真 分式，即成立m n < 。因为不然的话，可以通过多项式的带余除法，使 得 p x q x p x r x q x m n m n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + − ， 其中 p x m n− ( ) 是m n − 次多项式，而r x( )是次数不超过 n − 1的多项式。这 样就得到 ( ) ( ) m n p x x q x ∫ d ( ) ( ) ( ) m n n r x p xx x q x = + ∫ ∫ − d d 。 为了讨论的方便，我们假定q x n ( )的最高项系数为 1
由代数学基本定理,分母多项式q(x)在复数域上恰有n个根。 由于q(x)是实多项式,因此它的根要么是实根,要么是成对出现的 共轭复根。设qn(x)的全部实根为a1,a2,…,a,其重数分别为 m,m2,…;m,全部复根为月±i",2±12,…”,月±iy,其重数分别 为n1,n2 ∑m2+ n,=n k=1 k=1 记5=-,n2=B2+y2(2<n2),则在实数域上可将qn(x) 因式分解为 q(x)=I(x-a)·(x2+25x+7
由代数学基本定理，分母多项式q x n ( )在复数域上恰有 n个根。 由于q x n ( )是实多项式，因此它的根要么是实根，要么是成对出现的 共轭复根。设q x n ( )的全部实根为 α1 ,α 2 ,…, α i ，其重数分别为 m1 , m 2 ,…, mi，全部复根为 1 1 β ± iγ , 2 2 β ± iγ ,…, i β j j ± γ ，其重数分别 为 n1 , n 2 ,…, n j （ m nn k k i k k j = = ∑ ∑ + = 1 1 2 ）。 记 ξ k −= β k ， 222 kkk += γβη （ 2 2 k k ξ < η ），则在实数域上可将q x n ( ) 因式分解为 q x n ( ) = ∏∏= = ++⋅− j k n kk i k m k k k x xx 1 2 2 1 α ηξ )2()(
求有理函数的不定积分∫2(的关键,是将有理函数2(分解 成简单分式之和,再分别求简单分式的不定积分。 定理6.31设有理函数x是真分式,多项式q(x)有k重实根a, q(x) 即q(x)=(x-a)q1(x),q1(a)≠0。则存在实数与多项式p(x),p(x)的次 数低于(x-a)q1(x)的次数,成立 (x)2 PI qx)(x-a)(x-a)q,(x)
求有理函数的不定积分 ( ) ( ) mn p x x q x ∫ d 的关键，是将有理函数 )( )(xq xpnm 分解 成简单分式之和，再分别求简单分式的不定积分。 定理 6.3.1 设有理函数 )( )(xq xp 是真分式，多项式 xq )( 有k 重实根α ， 即 )()()( 1 xqxxq k −= α ， 0)( q1 α ≠ 。则存在实数λ 与多项式 )(1 xp ， )(1 xp 的次 数低于 )()( 1 1 xqx k− −α 的次数，成立 )()( )( )( )( )( 1 1 1 xqx xp xq x xp k k− − + − = α α λ
求有理函数的不定积分∫2(的关键,是将有理函数2(分解 成简单分式之和,再分别求简单分式的不定积分。 定理6.3.1设有理函数叫是真分式,多项式q(x)有k重实根a, q(x) 即q(x)=(x-a)q1(x),q1(a)≠0。则存在实数与多项式p(x),p(x)的次 数低于(x-a)q1(x)的次数,成立 (x)2 PI qx)(x-a)(x-a)q,(x) 证令P()=,则x=a是多项式(x)-(x)的根,设 q1(a) p(x)-nqi (x)=(x-a)p,(x) 就得到 p(x) n P1 q(x)(x-a)(x-a)-q;(x)
证 令 λ α α = )( )( q1 p ，则 x = α 是多项式 )()( 1 − λ xqxp 的根，设 )()( 1 − λ xqxp )()( 1 = −α xpx ， 就得到 )()( )( )( )( )( 1 1 1 xqx xp xq x xp k k− − + − = α α λ 。 求有理函数的不定积分 ( ) ( ) mn p x x q x ∫ d 的关键，是将有理函数 )( )(xq xpnm 分解 成简单分式之和，再分别求简单分式的不定积分。 定理 6.3.1 设有理函数 )( )(xq xp 是真分式，多项式 xq )( 有k 重实根α ， 即 )()()( 1 xqxxq k −= α ， 0)( q1 α ≠ 。则存在实数λ 与多项式 )(1 xp ， )(1 xp 的次 数低于 )()( 1 1 xqx k− −α 的次数，成立 )()( )( )( )( )( 1 1 1 xqx xp xq x xp k k− − + − = α α λ