§4函数的 Taylor公式及其应用 函数在x=0处的 Taylor公式 函数f(x)在x=0处的 Taylor公式 f(x)=f(0)+f(0)x+ f(0)x2+…+f(0)x x"+(x), 2 n! 其中r(x)有 Peano余项与 Lagrange余项两种表示形式,即有 (x)o(x),或x) (x,e(0, (n+1) 函数f(x)在x=0处的 Taylor公式又称为函数f(x)的 Maclaurin公 式。下面我们求几个最基本的初等函数的Maclaurin公式
函数在 x = 0处的 Taylor 公式 函数 ( ) xf 在 x = 0处的 Taylor 公式 )( ! )0( !2 )0( )0()0()( )( 2 xrx n f x f xffxf n n n ++ + ′′ += ′ + " ， 其中 xr )( n 有 Peano 余项与 Lagrange 余项两种表示形式，即有 )()( n n = xoxr ，或 1 )1( )!1( )( )( + + + = n n n x n xf xr θ ，θ ∈(0,1)。 函数 ( ) xf 在 x = 0处的 Taylor 公式又称为函数 (xf )的 Maclaurin公 式。下面我们求几个最基本的初等函数的 Maclaurin 公式。 §4 函数的Taylor公式及其应用
例5.4.1求f(x)=e在x=0处的 Taylor公式。 解对函数f(x)=e有 f(x)=f(x)=f(x)=…=f 于是 f(0)=f(0)=f"(O)=…=fm(0) 因此,e在x=0处的 Taylor公式 e=1+x+++…+=+r(x), 它的余项为 r1(x)=o(x"),或rn(x) 6∈(0,1) n
例 5.4.1 求 f x x () e = 在 x = 0处的 Taylor 公式。 解 对函数 f x x () e = 有 n x )()()( xfxfxfxf e)()( = ′ = ′′ " === ， 于是 )0()0()0( 1)0()( = ′ = ′′ === n fff " f ， 因此，ex在 x = 0处的 Taylor 公式 !!3!2 1e 32 n xxx x n x " +++++= + r x n ( )， 它的余项为 )()( n n = xoxr ，或 )1,0( , )!1( e )( 1 ∈ + = + θ θ n x n x n xr
例54.2求f(x)=sinx和f(x)=cosx在x=0处的 Taylor公式 解先考虑f(x)=sinx。 由于对k=0,1,2,…,有 k (x=sinx+ 于是 k=2n (-1)”,k=2n+1 因此sinx在x=0处的 Taylor公式为 2n+1 sinx=x-=+ +(一 +2n+2(x) (2n+ 相应的余项为 n()-x2),或n(1)=-5m(x+2n+3x,oe (2n+3)!
例 5.4.2 求 fx x ( ) sin = 和 fx x ( ) cos = 在 x = 0处的 Taylor 公式。 解 先考虑 fx x ( ) sin = 。 由于对 k = 012 ,, , "，有 ( ) ( ) sin π 2 k k fx x ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠， 于是 ⎩ ⎨ ⎧ +=− = = ,12,)1( ,2,0 )0()( nk nk f n k 因此sin x 在 x = 0处的 Taylor 公式为 )!12( )1( !5!3 sin 53 12 + −+−+−= + n xx x xx n " n + + r x 2 2 n ( ) ， 相应的余项为 )()( 22 22 + + = n n xoxr ，或 2 3 2 2 2 3 ( ) sin π , (0,1) (2 3)! 2 n n x n r x x n θ θ + + ⎛ ⎞ + = +∈ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠
同理可以求出cox在x=0处的 Taylor公式为 cosr=1-xx4 +r(x), 2!4 (2n) 相应的余项为 2n+2 r2n (x)=o(xin), 2n, (x)=xcos e 2n+2 ∈(0,1) (2n+2
同理可以求出cos x 在 x = 0处的 Taylor 公式为 )!2( )1( !4!2 1cos 42 2 n xx x x n n " −+−+−= + + r x 2 1 n ( )， 相应的余项为 )()( 12 12 + + = n n xoxr ，或 2 2 2 1 2 2 ( ) cos π , (0,1) (2 2)! 2 n n x n r x x n θ θ + + ⎛ ⎞ + = +∈ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠
例5.43求f(x)=(1+x)(a为任意实数)在x=0处的 Taylor 公式。 解因为 f(0)=(1+x) f(0)=a(l+x)2=a f"(0)=a(a-1)(1+x) ( 对任意正整数k,一般地有 f((0)=a(a-1)…(a-k+1)
例 5.4.3 求 α += xxf )1()( （α 为任意实数）在 x = 0处的 Taylor 公式。 解 因为 1)1()0( 0 =+= x= xf α ， α α α ′ =+= = − 0 1 )1()0( x f x ， )1()1)(1()0( 0 2 ′′ −=+−= = − αα αα α x f x ， …… 对任意正整数k ，一般地有 )1()1()0()( f k +−−= k " ααα