§2定积分的基本性质 性质1(线性性)设f(x)和8(x)都在[a,b上可积,k1和k2是常数 小函数kf(x)+k2g(x)在a,b上也可积,且有 ∫k/(x)+k8(x)x=k(x)dx+Jg(x)x 证对anb的任意一个划分 q=x0<x1<x,<…<xn=b 和任意点5;∈[x1,x,成立等式 ∑[kf(;)+k2g)x=k∑f(5)x+k∑g(5)x。 令=max(Ax)→0, l≤i<n imn∑kf(5)+k28(5Ax=klm∑f(x+klim∑g(5)x i=1 kL, f(x)dx+k.g(x)dx
性质 1（线性性） 设 f x( )和 g x( )都在[,] a b 上可积， 1 k 和 2 k 是常数。 则函数kf x kgx 1 2 () () + 在[,] a b 上也可积，且有 12 1 2 [ ( ) ( )]d ( )d ( )d b b b a a a kf x kgx x k f x x k gx x += + ∫ ∫∫ 。 证 对[,] a b 的任意一个划分 ， ax x x x b = 012 < < <"< n = 和任意点 ],[ 1 iii xx ξ ∈ − ，成立等式 ∑ ∑ ∑ = = = =Δ+ +Δ Δ n i ii n i ii n i i ii xgkxfkxgkfk 1 2 1 1 1 1 2 ξξ )]()([ ξ )( ξ )( 。 令 0)(max 1 = →Δ ≤≤ i ni λ x ， 12 1 2 0 0 0 1 1 1 lim [ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) n n n i i i ii ii i i i kf kg x k f x k g x λ λ λ ξξ ξ ξ → → → = = = ∑ ∑∑ + Δ = Δ + Δ 1 2 ( )d ( )d b b a a = + k f x x k gx x ∫ ∫ ， §2 定积分的基本性质
由定义,k1f(x)+k2g(x)在[ab上可积,且 [k,f(x)+k2g(x)]dx=k f(r)dx+k2 g(x)dx
由定义，kf x kgx 1 2 () () + 在[,] a b 上可积，且 12 1 2 [ ( ) ( )]d ( )d ( )d b b b a a a k f x k += + g xxk f xxk g x x ∫ ∫∫
由定义,k1f(x)+k2g(x)在[ab上可积,且 [k,f(x)+k2g(x)]dx=k f(r)dx+k2 g(x)dx 推论若f(x)在[a,b上可积,而g(x)只在有限个点上与f(x)的取 值不相同,则g(x)在[a,b上也可积,并且有 ∫(x)dx=Jg(x)dx 这就是说,若在有限个点上改变一个可积函数的函数值,并不影 响其可积性和积分值
推论 若 f x( )在[, ] a b 上可积，而 g x( )只在有限个点上与 f x( )的取 值不相同，则 g x( )在[, ] a b 上也可积，并且有 ( )d ( )d b b a a f x x = g x x ∫ ∫ 。 这就是说，若在有限个点上改变一个可积函数的函数值，并不影 响其可积性和积分值。 由定义，kf x kgx 1 2 () () + 在[,] a b 上可积，且 12 1 2 [ ( ) ( )]d ( )d ( )d b b b a a a k f x k += + g xxk f xxk g x x ∫ ∫∫
性质2(乘积可积性)设f(x)和g(x)都在[a,b上可积,则f(x)g(x) 在[ab上也可积。 证由于f(x)和g(x)都在{a,b上可积,所以它们在{a,b]上有界 因此存在常数M,满足 (x)sM和|g(x) 对a,b的任意划分 =x0<x1<x 设和是[x1,x中的任意两点,则有 f()g(x)-f()g() f(x)-f(x)|·|g(x)|+|f(x)|·g(x)-g(x) ≤M[|(x)-f(6)+|g(x)-8()
性质 2 （乘积可积性） 设 f x( )和 g x( )都在[,] a b 上可积，则 f x gx () () ⋅ 在[,] a b 上也可积。 证 由于 f x( )和 g x( )都在[,] a b 上可积，所以它们在[,] a b 上有界。 因此存在常数 M ，满足 |)(| ≤ Mxf 和 | ( )| , [ , ] gx M x ab ≤ ∈ 。 对[,] a b 的任意划分 ax x x x b = 012 < < <"< n = ， 设 x和 ~x 是[ ,] x x i i −1 中的任意两点，则有 | ( ) ( ) ( ) ( )| ˆ ˆ | ( ) ( )| | ( )| | ( )| | ( ) ( )| ˆˆ ˆ () () () () . ˆ ˆ f xgx f xgx f x f x gx f x gx gx M f x f x gx gx − ≤− ⋅ + ⋅− ≤⎡ − + − ⎤ ⎣ ⎦
记f(x)g(x)在小区间[x21,x上的振幅为a,f(x)和g(x)在小区间 x,x上的振幅分别为a和o,,则上式意味着 ≤M(2+o), 因此 ∑0Ax≤MC∑oAx+∑Ax) 令λ=max(Δx)→0,不等式的右端趋于零。由极限的夹逼性,得到 l≤i<n 根据 Riemann可积的充分必要条件,即知∫(x)g(x)在a,b]可积 要注意的是,一般说来 f(x)g()dx+ f()dx g(x)
记 f x gx () () ⋅ 在小区间 [ ,] x x i i −1 上的振幅为 ωi ， f x( ) 和 g x( ) 在小区间 [ ,] x x i i −1 上的振幅分别为ωi′和ωi′′ ，则上式意味着 ( ) ωi ii ≤ M ω ω ′ + ′′ ， 因此 1 11 0( ) n nn i i ii ii i ii ω ωω x Mx x = == ≤ ∑ ∑∑ Δ≤ Δ+ Δ ′ ′′ 。 令 1max( ) 0 i i n λ x ≤ ≤ = Δ → ，不等式的右端趋于零。由极限的夹逼性，得到 0 1 lim 0 n i i i x λ ω → = ∑ Δ = ， 根据 Riemann 可积的充分必要条件，即知 f x gx () () ⋅ 在[,] a b 可积。 要注意的是，一般说来 ( ) ( ) ( ) ( )d ( )d ( )d b bb a aa f xgx x f x x gx x ≠ ⋅ ∫ ∫∫