§3导数四则运算和反函数求导法则 从定义出发求导函数 些简单的函数可以直接通过导数的定义来求导函数: 常数函数y=C的导数恒等于零。 例4.3.1求y=sinx的导函数。 解(x+△x)-sinx=2cos(x+ sin 由cosx的连续性与 sin 22(△x→0),可知 sIn lin sin(x+△x)-Sinx lim cos x lim cOSX, Ax→>0 根据定义,即得 (sin x)=coS x o
从定义出发求导函数 一些简单的函数可以直接通过导数的定义来求导函数： 常数函数 y C= 的导数恒等于零。 例4.3.1 求 y x = sin 的导函数。 解 2 sin 2 cos2sin)sin( xx xxxx Δ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ Δ +=−Δ+ ，由cos x的连续性与 )0( 2 ~ 2 sin →Δ Δ Δ x xx ，可知 0 sin( ) sin lim x xx x Δ → x + Δ − Δ 2 2 sin lim 2 coslim 0 0 x x x x x x Δ Δ ⎟⋅ ⎠⎞ ⎜⎝⎛ Δ = + →Δ →Δ =cos x， 根据定义，即得 (sin ) cos x x ′ = 。 §3 导数四则运算和反函数求导法则
例4.3.2求y=lnx的导函数。 解ln(x+Ax)-lnx=ln x+△ In 1+ 由m1+ (Ax→>0),可知 In| 1+ ln(x+△x)-lnx Im =-lim Ax→0 △x Ax→>0 △x x 根据定义,即有 nx
例4.3.2 求 y x = ln 的导函数。 解 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ += Δ+ =−Δ+ x x x xx xxx lnln)ln( 1ln , 由 →Δ )0(~1ln Δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + x x x x x ，可知 0 0 ln 1 ln( ) ln 1 1 lim lim x x x xx x x xx x x x Δ → Δ → ⎛ ⎞ Δ ⎜ ⎟ + +Δ − ⎝ ⎠ = = Δ Δ ， 根据定义，即有 (ln ) x x ′ = 1
例43.3求y=e的导函数 解利用等价关系式e-1~Ax(4x→0),可得 x+△xx lim x e.im =e Ax→0△x →0△x 即有 (e) 进一步,利用等价关系a-1~Axna(a>0,a≠1),可得 (a2)’=(lna)a2
例4.3.3 求 x y = e 的导函数。 解 利用等价关系式e 1 ~ ( 0) x x x Δ − Δ Δ→ ，可得 0 0 e e e1 lim e lim e xx x x x x x x x x +Δ Δ Δ → Δ → − − = ⋅ = Δ Δ ， 即有 (e ) e x x ′ = 。 进一步，利用等价关系 ≠>⋅Δ− )1,0(ln~1 Δ aaaxa x ，可得 ( ) (ln ) a aa x x ′ =
例43.3求y=e的导函数 解利用等价关系式e-1~Ax(4x→0),可得 x+△xr lim e.im =e Ax→0△x →0△x 即有 (e) 进一步,利用等价关系a-1~ Ax. In a(a>0,a≠1),可得 (a2)’=(lna)a2 注意:y=e的导函数恰为它的本身,这就是高等数学中讨论指数 函数和对数函数时经常将底数取成e的缘故。以后会知道,若一个函 数的导函数等于它本身,那么这个函数与y=e至多相差一个常数因 子,即它必为 Ce 的形式
注意：y x = e 的导函数恰为它的本身,这就是高等数学中讨论指数 函数和对数函数时经常将底数取成e的缘故。以后会知道，若一个函 数的导函数等于它本身，那么这个函数与 y x = e 至多相差一个常数因 子，即它必为 y C x = e 的形式。 例4.3.3 求 x y = e 的导函数。 解 利用等价关系式e 1 ~ ( 0) x x x Δ − Δ Δ→ ，可得 0 0 e e e1 lim e lim e xx x x x x x x x x +Δ Δ Δ → Δ → − − = ⋅ = Δ Δ ， 即有 (e ) e x x ′ = 。 进一步，利用等价关系 ≠>⋅Δ− )1,0(ln~1 Δ aaaxa x ，可得 ( ) (ln ) a aa x x ′ =
例434求幂函数y=x(x>0)的导函数,其中a为任意实数 解利用等价关系(1+x)-1-x(△x>0),有 △x (+Ar)=x Im Ax→>0 x x 1+ Im 于是得到
例4.3.4 求幂函数 y x a = ( x > 0 )的导函数,其中a为任意实数。 解 利用等价关系 x xa x x a Δ ⎟ − ⎠⎞ ⎜⎝⎛ Δ + ~11 ( x →Δ 0 ),有 , 11 lim 11 lim )( lim 1 0 1 0 0 − →Δ − →Δ →Δ = Δ ⎟ − ⎠⎞ ⎜⎝⎛ Δ + = Δ ⋅ ⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎣⎡ ⎟ − ⎠⎞ ⎜⎝⎛ Δ + = Δ −Δ+ a a x a a a x aa x ax x x x x x x x x x x x x xxx 于是得到 ( ) x ax a a ′ = −1