定理5.1.1( Fermat引理)设x是f(x)的一个极值点,且f(x)在x 处导数存在, f(x)=0。 证不妨设x是f(x)的极大值点。则在x的某个邻域O(xn,S)上 f(x)有定义,且满足 f(x)≤f(x0) 当x<x时,有(x)-/(x20;当x>x时,有 f(x)-f(x≤0。 x-xo X-X 因为f(x)在x可导,所以f(x)=f(xn)=f(x),由于 f(xo)=lim f(x)-f(o) X-X f(x)-f(x0) f(xo)= lim X-X 因此 同理可证x为极小值点的情况。 证毕
证 不妨设x0是 f x( )的极大值点。则在x0的某个邻域 ),(xO 0 δ 上 f x( )有定义，且满足 fx fx () ( ) ≤ 0 。 当 0 x < x 时，有 0 0 () ( ) 0 fx fx x x − ≥ − ；当 0 x > x 时，有 0 0 () ( ) 0 fx fx x x − ≤ − 。 因为 f x( )在 0 x 可导，所以 000 f () () () x f x f x + − ′ = ′ ′ = ，由于 ′ = − − − ≥ → − f x fx fx x x x x ( ) lim () ( ) 0 0 0 0 0， ′ = − − + ≤ → + f x fx fx x x x x ( ) lim () ( ) 0 0 0 0 0， 因此 f x ′( ) 0 = 0。 同理可证x0为极小值点的情况。 证毕 定理5.1.1(Fermat引理) 设x0是 f x( )的一个极值点，且 f x( )在 x0 处导数存在，则 f x ′( ) 0 = 0
Fermat引理的几何意义:若曲线y=f(x)在其极值点处可导,或者 说在该点存在切线,那么这条切线必定平行于x轴。 当f(x)可导时,条件“f(x)=0”只是f(x)存在极值点的必要条 件而并非是充分条件。例如函数f(x)=x3在x0=0处的情况 f(x0)=0 导数不存在 图5.1.2
Fermat引理的几何意义：若曲线 y fx = ( )在其极值点处可导，或者 说在该点存在切线，那么这条切线必定平行于x 轴。 当 f x( )可导时，条件“ f x ′( ) 0 = 0”只是 f x( )存在极值点的必要条 件而并非是充分条件。例如函数 fx x ( ) = 3在 x0 = 0处的情况。 y O x x ξ 0 0 f’(x0)=0 导数不存在 图 5.1.2
Role定理 定理5.1.2(Rol定理)设函数f(x)在闭区间a,b]上连续,在开区 间(an,b)上可导,且f(a)=f(b),则至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f'(3)=0
Rolle定理 定理5.1.2(Rolle定理) 设函数 f x( )在闭区间[, ] a b 上连续，在开区 间(, ) a b 上可导，且 fa fb () () = ，则至少存在一点ξ ∈(, ) a b ，使得 f ′( ) ξ = 0
Role定理 定理5.1.2(Rol定理)设函数f(x)在闭区间a,b]上连续,在开区 间(an,b)上可导,且f(a)=f(b),则至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=0。 证由闭区间上连续函数的性质,存在ξ,n∈[a,b,满足 f(3)=M 和 其中M和m分别是f(x)在[a,b上的最大值和最小值。现分两种情况: (1)M=m。此时f(x)在[a,b上恒为常数,结论显然成立。 (2)M>m。这时M和m中至少有一个与f(a)(也即f(b)不相同, 不妨设 M=f(ξ)>f(a)=f(b), 因此ξ∈(a,b)显然是极大值点,由 Fermat引理 ∫'(ξ)=0。 证毕
证 由闭区间上连续函数的性质，存在ξ, [, ] η ∈ a b ，满足 f M ( ) ξ = 和 f m ( ) η = ， 其中 M 和m分别是 f x( )在[, ] a b 上的最大值和最小值。现分两种情况： （1） M = m。此时 f x( )在[, ] a b 上恒为常数，结论显然成立。 （2） M > m。这时 M 和m中至少有一个与 f a( )（也即 f b( )）不相同， 不妨设 M f fa fb = () () () ξ > = ， 因此ξ ∈(, ) a b 显然是极大值点，由Fermat引理 f ′( ) ξ = 0。 证毕 Rolle定理 定理5.1.2(Rolle定理) 设函数 f x( )在闭区间[, ] a b 上连续，在开区 间(, ) a b 上可导，且 fa fb () () = ，则至少存在一点ξ ∈(, ) a b ，使得 f ′( ) ξ = 0
Roll定理的几何意义:满足定理条件的函数一定在某一点存在 条与x轴平行,也即与曲线的两个端点的连线平行的切线。 注意:Role定理的条件是充分的。但是,三个条件中的任意一个 不满足,定理结论就有可能不成立。 6 x 图51.3
Rolle定理的几何意义：满足定理条件的函数一定在某一点存在一 条与x轴平行，也即与曲线的两个端点的连线平行的切线。 注意：Rolle定理的条件是充分的。但是，三个条件中的任意一个 不满足，定理结论就有可能不成立。 a b ξ x y O 图 5.1.3