§4定积分在几何计算中的应用 应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题
应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。 §4 定积分在几何计算中的应用
§4定积分在几何计算中的应用 应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。 求平面图形的面积 考虑由连续曲线y=f(x),直线 y=f() + x=a,x=b和y=0(即x轴)所围区域 的面积。 当f(x)>0时,面积为∫f(x)dx 当f(x)<0时,面积为∫[/(xdx 图74.1 当f(x)在区间[a,b上不保持定号 时,所要求的面积(如图7.4.1中的阴影部分的面积)应为 f(x)dx
求平面图形的面积 考虑由连续曲线 y fx = ( ) ，直线 x = a ，x = b和 y = 0（即 x 轴）所围区域 的面积。 当 f x( ) > 0时，面积为 ( )d b a f x x ∫ ； 当 f x( ) < 0时，面积为 [ ( )]d b a − f x x ∫ 。 当 xf )( 在区间 ba ],[ 上不保持定号 时，所要求的面积（如图 7.4.1 中的阴影部分的面积）应为 | ( ) |d b a S fx x = ∫ 。 §4 定积分在几何计算中的应用 应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。 a c b
夹在连续曲线y=f(x)和y=g(x)之间, 左右由直线x=a,x=b界定的那部分区域 的面积(图7.4.2)为 S= If(x)-g(x)ld g(r) 图7.4.2
夹在连续曲线 y fx = ( )和 y gx = ( )之间， 左右由直线 x a = ， x = b 界定的那部分区域 的面积(图 7.4.2)为 | () () | d b a S = − f x g x x ∫
夹在连续曲线y=f(x)和y=g(x)之间, f(r) 左右由直线x=a,x=b界定的那部分区域 的面积(图7.4.2)为 S= If(x)-g(x)ld g(r) 例74.1计算由曲线y=x2和x=y2 图7.4.2 所围区域的面积。 4y 解曲线y=x2和x=y2的交点坐标 =X 为(00)和(1),而当x∈0,√x≥x2(图 y=√x 7.4.3) 因此,所求的面积为 )d x 图7.4.3
例 7.4.1 计算由曲线 y x = 2和x y = 2 所围区域的面积。 解 曲线 y x = 2 和 x y = 2 的交点坐标 为 (,) 0 0 和 (,) 11 ，而当 x ∈[ ,] 0 1 ， x x ≥ 2 (图 7.4.3)， 因此，所求的面积为 1 2 0 ( )d x − x x ∫ 31 31 32 1 0 3 ⎟ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ −= xxx 。 夹在连续曲线 y fx = ( )和 y gx = ( )之间， 左右由直线 x a = ， x = b 界定的那部分区域 的面积(图 7.4.2)为 | () () | d b a S = − f x g x x ∫
例7.4.2设(x,y)是等轴双曲线x2-y2=1上的任意一点,求由 双曲线与连接点(x,y)和原点的线段,连接点(x,-y)和原点的线段所 围成的曲边三角形的面积t(图7.4.4)。 图7.4.4
例 7.4.2 设(, ) x y 是等轴双曲线x y 2 2 − = 1上的任意一点，求由 双曲线与连接点(, ) x y 和原点的线段，连接点(, ) x y − 和原点的线段所 围成的曲边三角形的面积t (图 7.4.4)