§5应用举例 本节介绍函数微分的一些应用,包括极值和最值问题、函数作 图以及在数学建模中的应用。 极值问题 f(x)的全部极值点必定都在使得f(x)=0和使得∫(x)不存在的 点集之中。使f(x)=0的点称为f(x)的驻点
本节介绍函数微分的一些应用，包括极值和最值问题、函数作 图以及在数学建模中的应用。 极值问题 f x( )的全部极值点必定都在使得 f x ′() 0 = 和使得 f x ′( )不存在的 点集之中。使 ′ xf = 0)( 的点称为 xf )( 的驻点。 §5 应用举例
定理551(极值点判定定理)设函数fx)在x0点的某一邻域中 有定义,且f(x)在x点连续 (1)设存在δ>0,使得f(x)在(x-0,x)与(x0,x+6)上可导, (i)若在(x0-6,x)上有∫(x)≥0,在(x0,x0+)上有f(x)≤0,则 x是f(x)的极大值点 (i)若在(x。-δ,x)上有∫(x)≤0,在(x0,x+)上有∫(x)≥0, 则x0是f(x)的极小值点; (i)若f'(x)在(x-6,x)与(x0,x+6)上同号,则x不是f(x)的 极值点
定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 xf )( 在 x0 点的某一邻域中 有定义，且 xf )( 在 x0 点连续。 ⑴ 设存在 δ > 0 ，使得 xf )( 在 ),( 0 0 − δ xx 与 ),( xx 00 + δ 上可导， (i) 若在 ),( 0 0 − δ xx 上有 f x ′() 0 ≥ ，在 ),( xx 00 + δ 上有 f x ′() 0 ≤ ，则 x0 是 xf )( 的极大值点； (ii) 若在 ),( 0 0 − δ xx 上有 f x ′() 0 ≤ ，在 ),( xx 00 + δ 上有 f x ′() 0 ≥ ， 则 x 0 是 xf )( 的极小值点； (iii) 若 f x ′( ) 在 ),( 0 0 − δ xx 与 ),( xx 00 + δ 上同号，则 x0 不是 xf )( 的 极值点
定理551(极值点判定定理)设函数fx)在x0点的某一邻域中 有定义,且f(x)在x点连续 (1)设存在δ>0,使得f(x)在(x0-6,x)与(x0,x0+。)上可导, (i)若在(x0-6,x)上有∫(x)≥0,在(x0,x0+)上有f(x)≤0,则 是f(x)的极大值点 (i)若在(x。-δ,x)上有∫(x)≤0,在(x0,x+)上有∫(x)≥0, 则x0是f(x)的极小值点; (i)若f'(x)在(x-6,x)与(x0,x+6)上同号,则x不是f(x)的 极值点 (2)设f(x)=0,且f(x)在x点二阶可导, i)若f"(x)<0,则x是f(x)的极大值点; (i)若∫"(xo)>0,则x是f(x)的极小值点 i)若∫"(x)=0,则x可能是f(x)的极值点,也可能不是f(x) 的极值点
⑵ 设 0)(′ xf 0 = ，且 f x( )在x0点二阶可导， (i) 若 f x ′′( ) 0 < 0，则x0是 xf )( 的极大值点； (ii) 若 f x ′′( ) 0 > 0，则x0是 xf )( 的极小值点； (iii) 若 f x ′′( ) 0 = 0，则 x0可能是 xf )( 的极值点，也可能不是 xf )( 的极值点。 定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 xf )( 在 x0 点的某一邻域中 有定义，且 xf )( 在 x0 点连续。 ⑴ 设存在δ > 0 ，使得 xf )( 在 ),( 0 0 − δ xx 与 ),( xx 00 + δ 上可导， (i) 若在 ),( 0 0 − δ xx 上有 f x ′() 0 ≥ ，在 ),( xx 00 + δ 上有 f x ′() 0 ≤ ，则 x0 是 xf )( 的极大值点； (ii) 若在 ),( 0 0 − δ xx 上有 f x ′() 0 ≤ ，在 ),( xx 00 + δ 上有 f x ′() 0 ≥ ， 则 x0 是 xf )( 的极小值点； (iii) 若 f x ′( )在 ),( 0 0 − δ xx 与 ),( xx 00 + δ 上同号，则 x0 不是 xf )( 的 极值点
证(1)的结论显然,我们只证(2) 因为f(x)=0,由 Taylor公式 f(x)=f(xo)+f'(xo)(x-1)/"(r 0(x-x0)2+o(x-x0)2) 2 x)+ (x-x0)2+o(x-x0)2) 得到 f(x)-f(x)1 0(x-x0)2) f (xa)+ (x-x (x-x0)2 因为当x→x时上式右侧第二项趋于0,所以当f"(x)<0时,由极限的 性质可知在x。点附近成立 X < X-x 所以 f(x)<f(x0), 从而f(x)在x取极大值。同样可讨论∫"(x)>0的情况。 证毕
证 (1)的结论显然，我们只证(2)。 因为 0 f x ′()0 = ，由 Taylor 公式 = xfxf 0 )()( + f ′( 0 x ) !2 )( )( 0 0 xf xx ′′ +− +− 2 0 xx )( ))(( 2 0 − xxo = xf 0 )( + !2 )( 0 ′′ xf +− 2 0 xx )( ))(( 2 0 − xxo 得到 0 2 0 () ( ) ( ) fx fx x x − = − 2 0 2 0 0 )( ))(( )( !21 xx xxo xf −− ′′ + 。 因为当 0 → xx 时上式右侧第二项趋于 0，所以当 0)(′′ xf 0 < 时，由极限的 性质可知在 0 x 点附近成立 0 )( )()( 2 0 0 < − − xx xfxf , 所以 )()( 0 < xfxf ， 从而 xf )( 在 0 x 取极大值。同样可讨论 0)(′′ xf 0 > 的情况。 证毕
关于定理551中(2)(i),可分别考察函数y=x,y=-x和 y=x3。x=0是y=x“的极小值点,是y=-x4的极大值点,而不是y=x 的极值点。但它们都满足y(0)=0和y(0)=0的条件
关于定理 5.5.1 中(2)(iii)，可分别考察函数 4 = xy , 4 −= xy 和 3 = xy 。x = 0是 4 = xy 的极小值点，是 4 −= xy 的极大值点，而不是 3 = xy 的极值点。但它们都满足 y′ = 0)0( 和 y′′ = 0)0( 的条件