§3微积分基本定理 从实例看微分与积分的联系 到目前为止,我们已详细介绍了微分与积分(这里专指定积分) 的基本概念,但还不曾涉及微分与积分之间的任何联系。事实上,揭 示微分与积分之间的内在联系是需要许多预备知识的。现在这些预备 知识已经基本具备,可以为这两个重要的概念建立桥梁了
从实例看微分与积分的联系 到目前为止，我们已详细介绍了微分与积分（这里专指定积分） 的基本概念，但还不曾涉及微分与积分之间的任何联系。事实上，揭 示微分与积分之间的内在联系是需要许多预备知识的。现在这些预备 知识已经基本具备，可以为这两个重要的概念建立桥梁了。 §3 微积分基本定理
先来看一个颇具启发性的例子。在引入定积分定义时我们已经知 道,以速度v()作变速运动的物体,在时间段[,z2]中所走过的路程S可 以表示为定积分 ∑w(5) 72 s=lim v(tdt →0 但是这个和式的极限一般来说是很难求的 让我们换一个角度考虑问题:设物体在时间段[0,n所走过的路程 为S(),那么它在时间段团T,]所走过的路程可以表示为 S=S(T2)-(71), 于是就有 v(t)dt=S(72)-S(7) 注意到v(t)=S(t),或者说S(1)是v(1)的一个原函数,于是上式说明了, v()在区间[T,2上的积分值可以用它的一个原函数在区间的两个端点 处的函数值之差来表示
先来看一个颇具启发性的例子。在引入定积分定义时我们已经知 道，以速度v t( )作变速运动的物体，在时间段[, ] T T 1 2 中所走过的路程 S 可 以表示为定积分 2 0 1 1 lim ( ) ( )d n T i i T i S v t vt t λ ξ → = = Δ= ∑ ∫ ， 但是这个和式的极限一般来说是很难求的。 让我们换一个角度考虑问题：设物体在时间段[,] 0 t 所走过的路程 为S t( )，那么它在时间段[, ] T T 1 2 所走过的路程可以表示为 S ST ST = () () 2 1 − ， 于是就有 2 1 ( )d T T vt t ∫ = ST ST () () 2 1 − 。 注意到vt S t () () = ′ ，或者说S t( ) 是v t( )的一个原函数，于是上式说明了， v t( )在区间[, ] T T 1 2 上的积分值可以用它的一个原函数在区间的两个端点 处的函数值之差来表示
微积分基本定理 Newton- Leibniz公式 设f(x)在区间a,b]上可积,由定积分的区间可加性,可知对任意 x∈b,积分(存在。当x在中变化时,「()d的值也随之 而变化,所以它是定义在[a,b上的关于x的函数。这个函数具有如下 的重要性质:
微积分基本定理 ── Newton-Leibniz 公式 设 f x( )在区间[,] a b 上可积，由定积分的区间可加性，可知对任意 x ab ∈[,]，积分 ( )d x a f t t ∫ 存在。当 x 在[,] a b 中变化时， ( )d xa f t t ∫ 的值也随之 而变化，所以它是定义在[,] a b 上的关于 x 的函数。这个函数具有如下 的重要性质：
微积分基本定理 Newton- Leibniz公式 设f(x)在区间a,b]上可积,由定积分的区间可加性,可知对任意 x∈b,积分(存在。当x在中变化时,「()d的值也随之 而变化,所以它是定义在[a,b上的关于x的函数。这个函数具有如下 的重要性质: 定理7.3.1设f(x)在a,上可积,作函数 F(x)=f()dt,x∈[ab] 则 (1)F(x)是[a,b]上的连续函数 (2)若∫(x)在[a,b]上连续,则F(x)在[ab上可微,且有 F'(x)=f(x)
定理 7.3.1 设 f x( )在[,] a b 上可积，作函数 ( ) ( )d , [ , ] x a F x = ∈ f t t x ab ∫ ， 则 ⑴ F x( )是[,] a b 上的连续函数； ⑵ 若 f x( )在[,] a b 上连续，则 F x( )在[,] a b 上可微，且有 F x fx ′() () = 。 微积分基本定理 ── Newton-Leibniz 公式 设 f x( )在区间[,] a b 上可积，由定积分的区间可加性，可知对任意 x ab ∈[,]，积分 ( )d x a f t t ∫ 存在。当 x 在[,] a b 中变化时， ( )d xa f t t ∫ 的值也随之 而变化，所以它是定义在[,] a b 上的关于 x 的函数。这个函数具有如下 的重要性质：
证由定积分的区间可加性, F(x+△)-F(x)-0)d-.oud=-∫ 记m、M分别为f(x)在a上的最小值和最大值,由积分第一中值定 理,得到 7:Ax(m∈[m,M]) 若f(x)在[a,b]上可积 F(x+△x)-F(x) f()·Ax(在x与x+Ax之间,若f(x)在[a,b上连续 显然,不管在哪一种情况下,当Ax→0时都有F(x+Ax)-F(x)→0, 即F(x)在{a,b上连续。 若f(x)在[a,b连续,当Ax→0时有5→x,因而f()→f(x),于是 F(x=lim F(x+△x)-F(x) lim f(5)=f(x) Ax→>0
证 由定积分的区间可加性， ( ) ( ) ( )d ( )d ( )d x x x x x a ax F x x Fx ft t ft t ft t +Δ +Δ +Δ − = − = ∫ ∫∫ 。 记 m、M 分别为 f x( )在[,] a b 上的最小值和最大值，由积分第一中值定 理，得到 Fx x Fx ( ) () + Δ − ⎩⎨⎧ Δ⋅ Δ+ ∈Δ⋅ = 与在 之间 在若 上连续。 在若 上可积， ()( ],[)(), ),],[( ],[)( xxxxf baxf Mmx baxf ξξ ηη 显然，不管在哪一种情况下，当Δx → 0时都有 Fx x Fx ( ) () + Δ − → 0， 即 F x( )在[,] a b 上连续。 若 f x( )在[,] a b 连续，当Δx → 0时有ξ → x ，因而 f () () ξ → f x ，于是 0 0 ( ) () ( ) lim lim ( ) ( ) x x Fx x Fx F x f f x x ξ Δ → Δ → + Δ − ′ = == Δ