§5高阶导数和高阶微分 高阶导数的实际背景及定义 物体在时刻t的瞬时加速度为当t→0时,它的平均加速度的 △t 极限值,即 a(t)= lim=lim v(t+At)-v(t) △→0△t1→0 △t =v(t), 也就是说,加速度函数a(t)是速度函数v(t)的导函数,是位移函数s(t) 的导函数的导函数,称为s(t)的二阶导数
高阶导数的实际背景及定义 物体在时刻 t 的瞬时加速度为当 Δ t → 0时，它的平均加速度 Δ Δ v t 的 极限值，即 a t v t vt t vt t v t t t ( ) lim lim ( ) () = = ( ) + − = ′ Δ Δ → → Δ Δ Δ 0 0 Δ ， 也就是说，加速度函数a t( )是速度函数v t( )的导函数，是位移函数s t( ) 的导函数的导函数，称为s t( ) 的二阶导数。 §5 高阶导数和高阶微分
定义 y,)仍是个 设y=f(x)可导,若它的导数f(x)(或y(x),ddx 可导函数,则称f(x)的导数f(x)(或[y(x d df d d )为 f(x)的二阶导数,记为 f"(x)(或yx),2 y dx 并称f(x)是二阶可导函数(简称f(x)二阶可导)或者说f(x)的二阶导 数存在
定义 设 y fx = ( )可导，若它的导数 f x ′( )（或 ′ xy )( ， f x d d ， y x d d ）仍是个 可导函数，则称 f x ′( )的导数 ′ xf ])([ ′（或[ ]′ ′ xy )( ， f x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d d d d ， y x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d d d d ）为 f x( )的二阶导数，记为 ′′ xf )( （或 ′′ xy )( ， 2 2 f x d d ， 2 2 y x d d ）， 并称 f x( )是二阶可导函数（简称 f x( )二阶可导）或者说 f x( )的二阶导 数存在
定义 y,)仍是个 设y=f(x)可导,若它的导数f(x)(或y(x),ddx 可导函数,则称f(x)的导数f(x)(或[y(x d df d d )为 f(x)的二阶导数,记为 f(x)(或y"(x), d y dx 并称f(x)是二阶可导函数(简称f(x)二阶可导)或者说f(x)的二阶导 数存在。 若f"(x)仍是个可导函数,则称f"(x)的导数为f(x)的三阶导数, 记为 x)(或y"(x), dx dx 并称f(x)三阶可导或者说f(x)的三阶导数存在
若 f x ′′( )仍是个可导函数，则称 f x ′′( )的导数为 f x( )的三阶导数， 记为 ′′′ xf )( （或 ′′′ xy )( ， 3 3 d d f x ， 3 3 d d y x ）， 并称 f x( )三阶可导或者说 f x( )的三阶导数存在。 定义 设 y fx = ( )可导，若它的导数 f x ′( )（或 ′ xy )( ， f x d d ， y x d d ）仍是个 可导函数，则称 f x ′( )的导数 ′ xf ])([ ′（或[ ]′ ′ xy )( ， f x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d d d d ， y x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d d d d ）为 f x( )的二阶导数，记为 ′′ xf )( （或 ′′ xy )( ， 2 2 f x d d ， 2 2 y x d d ）， 并称 f x( )是二阶可导函数（简称 f x( )二阶可导）或者说 f x( )的二阶导 数存在
以此类推,可以定义n阶导数: 定义4.5.1设函数y=f(x)的n-1阶导数f(m(x)(或y(x), d"f.dy)(n=2,3…)仍是个可导函数,则称它的导数[/"(x) d r-1, d d" d d (或[(对),d(drd(d4)为()的n阶导数,记为 f(x)(或y0(x) d dx 并称f(x)是n阶可导函数(简称f(x)n阶可导)或者说f(x)的n阶导数 存在
以此类推，可以定义n阶导数： 定义 4.5.1 设函数 = xfy )( 的n −1阶导数 )()1( xf n− （或 )()1( xy n− ， 1 1 d d n n f x − − ， 1 1 d d n n y x − − ）（n = ,3,2 "）仍是个可导函数，则称它的导数 ])([ )1( ′ − xf n （或[ ]′ − )()1( xy n ， 1 1 d d d dn n f x x− − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠， 1 1 d d d dn n y x x− − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠）为 f x( )的n阶导数，记为 )()( xf n （或 )()( xy n ， ddn nf x ， ddn nyx ）， 并称 f x( )是n阶可导函数（简称 f x( ) n阶可导）或者说 f x( )的n阶导数 存在
以此类推,可以定义n阶导数: 定义4.5.1设函数y=f(x)的n-1阶导数f(m(x)(或ym"(x), d"f,当y)(n=23…)仍是个可导函数,则称它的导数[n(x) (或[m(), d d dx(dx)d(d)为(x)的n阶导数,记为 (x)(或 d dx 并称f(x)是n阶可导函数(简称f(x)n阶可导)或者说f(x)的n阶导数 存在 利用上述记号,加速度函数可以写成 ()=s"(t) Newton第二运动定律可以写成
利用上述记号，加速度函数可以写成 2 2 )()( t s tsta d d = ′′ = ， Newton 第二运动定律可以写成 2 2 t s mF d d = 。 以此类推，可以定义 n阶导数： 定义 4.5.1 设函数 = xfy )( 的 n − 1阶导数 )()1( xf n − （ 或 )()1( xy n − ， 1 1 d d n n f x − − ， 1 1 d d n n y x − − ）（ n = ,3,2 " ）仍是个可导函数，则称它的导数 ])([ )1( ′ − xf n （ 或[ ] ′ − )()1( xy n ， 1 1 d d d d n n f x x − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 1 1 d d d d n n y x x − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ） 为 f x( ) 的 n阶导数，记为 )()( xf n （或 )()( xy n ， d d n n f x ， d d n n y x ）， 并称 f x( ) 是 n阶可导函数 （简称 f x( ) n阶可导 ）或者说 f x( ) 的 n阶导 数 存在