第六章不定积分 §1不定积分的概念和运算法则 微分的逆运算 不定积分 定义6.1.1若在某个区间上,函数F(x)和f(x)成立关系 F'(x)=f(x), 或等价地, d(F(x))=f(x)dx, 则称F(x)是f(x)在这个区间上的一个原函数
微分的逆运算 ── 不定积分 定义6.1.1 若在某个区间上，函数F x( ) 和 f x( )成立关系 F x fx ′() () = ， 或等价地， d d ( ( )) ( ) F x = f x x ， 则称F x( ) 是 f x( )在这个区间上的一个原函数。 第六章 不定积分 §1 不定积分的概念和运算法则
注意,如果一个函数存在原函数,那么它的原函数必定是不唯 的。比如,若F(x)是f(x)的原函数,那么对任何常数C,F(x)+C也是 f(x)的原函数 反之,若G(x)是f(x)的任一个原函数,则[F(x)-G(x)=0。于是 x)-G(x)=C,即G(x)=F(x)+C。 所以,只要求出了f(x)的任意一个原函数F(x),就可以用F(x)+C 来代表f(x)的原函数全体了
注意，如果一个函数存在原函数，那么它的原函数必定是不唯一 的。比如，若F x( ) 是 f x( )的原函数，那么对任何常数 C，Fx C ( ) + 也是 f x( )的原函数。 反之，若G x( ) 是 f x( )的任一个原函数，则[ ( ) ( )] Fx Gx − ′ = 0。于是 Fx Gx C () () − ≡ ，即Gx Fx C () () = + 。 所以，只要求出了 f x( )的任意一个原函数F x( )，就可以用Fx C ( ) + 来代表 f x( )的原函数全体了
定义6.1.2一个函数f(x)的原函数全体称为这个函数的不定积 分,记作(x)x。 这里,“∫”称为积分号,f(x)称为被积函数,x称为积分变量。 微分运算“d”与不定积分运算“∫”构成了一对逆运算: f(x)dx F(x)+C 或者具体写成 40/())/)(即(地)-/() dF(x)=F(x)+C
定义6.1.2 一个函数 f x( )的原函数全体称为这个函数的不定积 分，记作 f ( )d x x ∫ 。 这里，“ ∫ ”称为积分号， f x( )称为被积函数，x称为积分变量。 微分运算“d ”与不定积分运算“ ∫ ”构成了一对逆运算： ( ) ( ) ( ) F x f x x Fx C ⎯⎯→ + ←⎯⎯∫d d ， 或者具体写成 ( f () () x x fx x ) = ∫ dd d （ 即 ( f () () x x) f x x = ∫ d d d ） 与 F() () x Fx C = + ∫d
例6.1.1求∫s sin xax o 解由于d(cosx)=- sin xdx,即d(-cosx)= sin xdx,因此得到 sin xax cosx+C
例6.1.1 求 sin x x ∫ d 。 解 由于d d (cos ) sin x xx = − ，即d d ( cos ) sin − x xx = ，因此得到 sin cos xx x C = − + ∫ d
例6.1.1求∫s sin xax o 解由于d(cosx)=- sin xdx,即d(-cosx)= sin xdx,因此得到 sin xax cosx+C。 例6.12求∫xdx,(a≠-1)。 解由于(1 a+1 因此有 a+1 X x +C a
例6.1.2 求 x x α ∫ d ，（α ≠ −1）。 解 由于 α α α = xx ′ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ + +1 1 1 ，因此有 1 1 1 xx x C α α α + = + + ∫ d 。 例6.1.1 求 sin x x ∫ d 。 解 由于d d (cos ) sin x xx = − ，即d d ( cos ) sin − x xx = ，因此得到 sin cos xx x C = − + ∫ d