第五章微分中值定理及其应用 §1微分中值定理 函数极值与 Fermat引理 定义5.1.1设f(x)在(a,b)上有定义,x∈(a,b),如果存在点x的 某一个邻域O(x0δ)<(ab),使得 f(x)≤f(x0),x∈O(x026), 则称x是f(x)的一个极大值点,f(x)称为相应的极大值。 类似地可以定义f(x)的极小值点和极小值(在不需要区分极大和 极小的时候,我们将其统称为极值点和极值。)
函数极值与Fermat引理 定义5.1.1 设 f x( )在(, ) a b 上有定义， 0 x ab ∈(,)，如果存在点 x0的 某一个邻域 ),(),( 0 δ ⊂ baxO ，使得 fx fx () ( ) ≤ 0 ， ),( ∈ xOx 0 δ ， 则称x0是 f x( )的一个极大值点， f x( ) 0 称为相应的极大值。 类似地可以定义 f x( )的极小值点和极小值（在不需要区分极大和 极小的时候，我们将其统称为极值点和极值。） 第五章 微分中值定理及其应用 §1 微分中值定理
从以上的定义可以知道 1.所谓“极大”和“极小”只是指在x附近的一个局部范围中的 函数值的大小关系,因而是一个局部性质。 2.在一个区间内,f(x)的一个极小值完全有可能大于f(x)的某些 极大值。 y 极大值 极小值 极大值 极小值 O 极小值 图5.1
从以上的定义可以知道： ⒈ 所谓“极大”和“极小”只是指在 x 0附近的一个局部范围中的 函数值的大小关系，因而是一个局部性质。 ⒉ 在一个区间内， f x( )的一个极小值完全有可能大于 f ( ) x 的某些 极大值。 极大值 极大值 极小值 极小值 极小值 x y O 图 5.1.1
3.f(x)在一个区间中极值点可以有无数个。如在(0,1)中考虑函数 (x)=sin 则x(2n+D(n=012…)都是f(x)的极值点,当m为偶数时为极大值 2 点,而当n为奇数时为极小值点
⒊ f x( )在一个区间中极值点可以有无数个。如在(,) 0 1 中考虑函数 f x x ( ) sin = 1 ， 则 x n = n + = 2 2 1 012 ( ) ( ,, , ) π " 都是 f x( )的极值点，当 n为偶数时为极大值 点，而当 n为奇数时为极小值点
3.f(x)在一个区间中极值点可以有无数个。如在(0,1)中考虑函数 (x=sin 则x(2n+D(n=012…)都是f(x)的极值点,当m为偶数时为极大值 2 点,而当n为奇数时为极小值点。 4.对极值点的定义并不牵涉到函数的其他性质,如连续、可微 等。比如,对于区间(0)上的 Riemann函数 ,当x=9为(0,1)上的既约分数, R(x) 0,当x为(0,1)上的无理数, (0,1)中的每个有理点都是它的极大值点,每个无理点都是它的极小值 点。而 Riemann函数在每个有理点都不连续,在每个无理点都连续
⒋ 对极值点的定义并不牵涉到函数的其他性质，如连续、可微 等。比如，对于区间 )1,0( 上的Riemann函数 1 , ( 0,1) , ( ) 0, (0,1) , q x R x p p x ⎧ ⎪ = = ⎨ ⎪ ⎩ 当 为 上的既约分数 当 为 上的无理数 (,) 0 1 中的每个有理点都是它的极大值点，每个无理点都是它的极小值 点。而Riemann函数在每个有理点都不连续，在每个无理点都连续。 ⒊ f x( )在一个区间中极值点可以有无数个。如在(,) 0 1 中考虑函数 f x x ( ) sin = 1 ， 则 x n = n + = 2 2 1 012 ( ) ( ,, , ) π " 都是 f x( )的极值点，当 n为偶数时为极大值 点，而当 n为奇数时为极小值点
定理5.1.1( Fermat引理)设x是f(x)的一个极值点,且f(x)在x 处导数存在, f(x)=0
定理5.1.1(Fermat引理) 设x0是 f x( )的一个极值点，且 f x( )在 x0 处导数存在，则 f x ′( ) 0 = 0