第四章微分 §1微分和导数 微分的定义 设y=f(x)是一个给定的函数, 在点x附近有定义。若f(x)在x处的(+△ 自变量产生了某个增量Δx变成了 f(r) x+Ax(增量A可正可负,但不为 「△x 零),那么它的函数值也相应地产 xx+△x 生了一个增量 图4.1.2 △y(x)=f(x+△x)-f(x), 在不会发生混淆的场合,或者是无需特别指明自变量的时候,一般就 将y(x)简单地记为Ay
微分的定义 设 y fx = ( )是一个给定的函数， 在点 x 附近有定义。若 f x( )在 x 处的 自变量产生了某个增量Δx 变成了 x + Δx （增量Δx 可正可负，但不为 零），那么它的函数值也相应地产 生了一个增量 Δyx f x x f x () ( ) () = + Δ − ， 在不会发生混淆的场合，或者是无需特别指明自变量的时候，一般就 将Δy x( )简单地记为Δy 。 §1 微分和导数 第四章 微 分
定义4.1.1对函数y=f(x)定义域中的一点x,若存在一个只与 有关,而与Ax无关的数g(x),使得当Ax→0时恒成立关系式 △y=g(x)Ax+O(△x), 则称f(x)在x处的微分存在,或称f(x)在x处可微 若函数y=f(x)在某一区间上的每一点都可微,则称f(x)在该区间 上可微
定义4.1.1 对函数 y fx = ( )定义域中的一点 0 x ，若存在一个只与 0 x 有关，而与Δx 无关的数 )( 0 xg ，使得当Δx → 0时恒成立关系式 0 Δy g = Δ+ Δ () ( ) x xox ， 则称 f x( )在 0 x 处的微分存在，或称 f x( )在 0 x 处可微。 若函数 y fx = ( )在某一区间上的每一点都可微，则称 f x( )在该区间 上可微
由定义可知,若f(x)在x处是可微的,那么当Ax→0时Ay也是无 穷小量,且当g(x)≠0时,成立等价关系 △y~g(x)Ax “g(x)Ax”这一项也被称为Ay的线性主要部分 f(x)在x处可微且Ax→0时,将△x称为自变量的微分,记作dx, 而将Ay的线性主要部分g(x)dx(即g(x)Ax)称为因变量的微分,记作dy 或f(x),于是就有以下的微分关系式 dy=g(x)dx
由定义可知，若 f x( )在 x 处是可微的，那么当Δx → 0时Δy 也是无 穷小量，且当 g( ) x ≠ 0时，成立等价关系 Δy gx x ~ ()Δ 。 “ gx x ( )Δ ”这一项也被称为Δy 的线性主要部分。 当 f x( )在 x 处可微且Δx → 0时，将Δx 称为自变量的微分，记作 xd ， 而将Δy 的线性主要部分 gx x ( )d （即 gx x ( )Δ ）称为因变量的微分，记作 yd 或 f ( ) x d ，于是就有以下的微分关系式 y = gx x ( ) d d
由定义可知,若f(x)在x处是可微的,那么当Ax→0时4y也是无 穷小量,且当g(x)≠0时,成立等价关系 △y~g(x)Ax “g(x)Ax”这一项也被称为y的线性主要部分。 当∫(x)在x处可微且Ax→0时,将△x称为自变量的微分,记作dx, 而将Ay的线性主要部分g(x)dx(即g(x)Ax)称为因变量的微分,记作d 或刂f(x),于是就有以下的微分关系式 dy=g(x dx 例4.1.1设y=f(x)=x2,对于在任意一点x∈(-0,+∞)处所产生的 增量Δx,有 △y=(x+△ y 2x△x+ 由定义,函数y=x2在x处是可微的,它的微分为 dy=d(x)=2xdx
例4.1.1 设 2 )( == xxfy ，对于在任意一点 x ∈ −∞ + ∞),( 处所产生的 增量Δx ，有 2 2 2 Δy x x x xx x = +Δ − = Δ +Δ () 2 由定义，函数 y x = 2在 x 处是可微的，它的微分为 2 y x xx = = ()2 d d d 。 由定义可知，若 f x( )在 x 处是可微的，那么当Δx → 0时Δy 也是无 穷小量，且当 g( ) x ≠ 0时，成立等价关系 Δy gx x ~ ()Δ 。 “ gx x ( )Δ ”这一项也被称为Δy的线性主要部分。 当 f x( )在 x 处可微且Δx → 0时，将Δx 称为自变量的微分，记作 xd ， 而将Δy 的线性主要部分 gx x ( )d （即 gx x ( )Δ ）称为因变量的微分，记作 yd 或 f ( ) x d ，于是就有以下的微分关系式 y = gx x ( ) d d
例4.1.2设y=f(x)=yx2,在x=0处,有 △y=f(△x)-f(0)=VAx2, 当Ax→0时,VAx2趋于0的阶比Ax的阶低,因而Ay不可能表示成Ax 的线性项与高阶项的和。由定义,函数y=x2在x=0处是不可微的。 函数y=x2虽然不是(-∞,+∞)上的可微函数,但它在(-∞,0)和 (0,+∞)上却都是可微的
例4.1.2 设 y fx x = = ( ) 3 2 ，在 x = 0处，有 )0()( 3 Δ=−Δ=Δ xfxfy 2， 当Δx → 0时， Δx 3 2 趋于0的阶比Δx 的阶低， 因而Δy 不可能表示成Δx 的线性项与高阶项的和。由定义，函数 3 2 = xy 在 x = 0处是不可微的。 函数 y x = 3 2 虽然不是 −∞ + ∞),( 上的可微函数，但它在( ,) −∞ 0 和 + ∞),0( 上却都是可微的