§4复合函数求导法则及其应用 复合函数求导法则 定理4.4.1(复合函数求导法则)设函数u=8(x)在x=x可导, 函数y=f(l)在u=l1=g(x0)处可导,则复合函数y=f(g(x)在x=x可 导,且有 f(g(x))y==∫'(l)g(x0)=f(g(x0)g'(x) 证因为y=f(l)在4处可导,所以可微。由可微的定义,对任 意一个充分小的△≠0,都有 f(l+△n)-f(l)=f(a)△+a△l, 其中lima=0。 因为当△n=0时Ay=0,不妨规定当△M=0时a=0,因此上式对 △n=0也成立
复合函数求导法则 定理4.4.1 (复合函数求导法则) 设函数u gx = ( )在 x x = 0可导， 函数 y fu = ( )在u u gx = 0 0 = ( )处可导,则复合函数 y f gx = ( ( ))在 x x = 0可 导，且有 [ ( ))] ( ) ) f gx f u g x x x ( ′ = ′ ′( = 0 0 0 = f gx g x ′( )) ) ( ′( 0 0 。 证 因为 y fu = ( )在u0处可导，所以可微。由可微的定义，对任 意一个充分小的Δu ≠ 0，都有 0 00 f ( ) () () u u fu f u u u + Δ − = Δ+Δ ′ α ， 其中 0 lim u→Δ α = 0。 因为当 u =Δ 0时Δy = 0，不妨规定当Δu = 0时α = 0，因此上式对 Δu = 0也成立。 §4 复合函数求导法则及其应用
设A=g(x+△Ax)-g(x)(Ax≠0),在上式两边同时除以Ax,则有 f(g(x+△x)-f(g(x0) △l△u fo +a 由函数n=g(x)在x=x可导,即有1mn 4(,且此式也蕴含 了lim△u=0。注意到在Ax→>0的过程中,或者有△n=0,这时有a=0 或者有Δn≠0,但M趋于0,因此由lima=0,可知lima=0 Ax→0 于是令Ax→0,得到 dy= lim /(8(=o+Ax)-/(8(=o) (u)lim -+ lim a lim u f(l)g(x0)。 r→0△xAx→0Ax0△r 证毕
设 )()(= 0 0 Δ + Δ − xgxxgu ( 0) Δx ≠ ，在上式两边同时除以Δx ，则有 0 0 0 ( ( )) ( ( )) ( ) f gx x f gx u u f u x x x α + Δ − Δ Δ = + ′ Δ Δ Δ 。 由函数u gx = ( )在 x x = 0可导，即有 0 0 lim ( ) x u g x Δ → x Δ = ′ Δ ，且此式也蕴含 了 0 lim 0 x u Δ → Δ = 。注意到在Δx → 0的过程中，或者有Δu = 0，这时有α = 0； 或者有Δu ≠ 0 ，但Δu 趋于0，因此由 0 lim 0 u α Δ → = ，可知 0 lim 0 x α Δ → = 。 于是令Δx → 0，得到 0 0 0 0 0 0 0 00 ( ( )) ( ( )) lim ( ) lim lim lim ( ) ( ) x x xx y f gx x f gx x x u u f u f u g x x x α Δ → Δ→ Δ→ Δ→ + Δ − = Δ Δ Δ = += ′ ′ ′ Δ Δ d d 。 证毕
复合函数的求导规则可以写成(称为链式法则) dydy du dx du d 复合函数的微分公式可以写成 dlf(g(x))=f(u)g(xdx
复合函数的求导规则可以写成（称为链式法则） d dd d dd y yu x ux = ⋅ 。 复合函数的微分公式可以写成 d[ ( ))] ( ) )d f g ( x = ( f ′ u g′ x x
例44.1求幂函数y=x(x>0)的导函数。 解把y=x=emx看成是由 y=e u=aIn 复合而成的函数,则由链式法则 x)"=(e)·(anx)=(e =aX
例4.4.1 求幂函数 ( 0) a yx x = > 的导函数。 解 把 y x a ax = = e ln 看成是由 y uax u = = ⎧ ⎨ ⎩ e , ln 复合而成的函数，则由链式法则 ( ) x a ′ = (e ) ( ln ) u ′ ⋅ a x ′ x a x x a a xau u = ⋅=⋅ = ln )(e = − ax a 1
例44.1求幂函数y=x(x>0)的导函数。 解把y=x=ex看成是由 y=e u=aIn 复合而成的函数,则由链式法则 (x“)’=(e“)(alnx)=(e =aX 例442求y=ex的导函数 解把y=ewx看成是由 U= cOS x 复合而成的函数,则由链式法则 y=(ecos)'=(e").(cos x)=(e") (sin x)=-e.sin x u=cosx
例4.4.2 求 y x = ecos 的导函数。 解 把 y x = ecos 看成是由 ⎩⎨⎧ == xuy u cos,e 复合而成的函数，则由链式法则 cos cos cos (e ) (e ) (cos ) (e ) ( sin ) e sin x u u x u x y x xx = ′ ′′ ′ = = ⋅ = ⋅ − =− ⋅ 。 例4.4.1 求幂函数 ( 0) a yx x = > 的导函数。 解 把 y x a ax = = e ln 看成是由 y uax u = = ⎧⎨⎩ e ,ln 复合而成的函数，则由链式法则 ( ) x a ′ = (e ) ( ln ) u ′ ⋅ a x ′ x a x x a a xau u = ⋅=⋅ = ln )(e = − ax a 1