§2换元积分法和分部积分法 换元积分法 换元积分法可以分成两种类型: (1)第一类换元积分法 在不定积分∫/(x)中,若(x)可以通过等价变形化成 f(g(x)g(x),而函数()的原函数F(l)是容易求的 因为[F(g(x)=F(g(x)g(x)=f(g(x)g(x)=f(x),可知 ∫/(x)dx=F(g(x)+C
换元积分法 换元积分法可以分成两种类型： ⑴ 第一类换元积分法 在不定积分 f ( ) x x ∫ d 中，若 f x( )可以通过等价变形化成 ~ f gx g x ( ( )) ) ′( ，而函数 ~f u( )的原函数 ~F u( )是容易求的。 因为 )())(( ~ ]))(( ~[ ′ = ′′ xgxgFxgF = )())(( ~ ′ xgxgf = f x( )，可知 f ( ) x x ∫ d ))(( += CxgF~ 。 §2 换元积分法和分部积分法
在运算时,可采用下述步骤:用=g(x)对原式作变量代换,这时 相应地有dn=g'(x)dx,于是, JA(x)dxf(g(x))g(x)dx=f(g(x)dg ∫f()d=F()+C=F(8(x)+C。 这个方法称为第一类换元积分法。由于在将f(x)ldx化成 f(g(x)g(xldx=f(g(x)dg(x)的过程中往往要采取适当地“凑”的办法, 它也被俗称为“凑微分法
在运算时，可采用下述步骤：用u gx = ( )对原式作变量代换，这时 相应地有d d u gx x = ′( ) ，于是， f ( ) x x ∫ d = f ( ( )) ) gx g x x ′( ∫ d = ( f ( ( )) ) gx gx ∫ d = f ( ) u u = ∫ d )( CuF =+ ~ ~ Fgx C ( ( )) + 。 这个方法称为第一类换元积分法 。由于在将 f ( ) x xd 化成 f ( ( )) ) gx g x x ′( = d f ( ( )) ) gx gx( d 的过程中往往要采取适当地“凑”的办法， 它也被俗称为“凑微分法
例621求∫ 解将f(x)=xa看成是/()=和a=x-的复合函数,因为 d(x-a) 所以 x-a (作变量代换u=x-a) X-a 用u=x-a代回) In x-a+c
例 6.2.1 求 x x a − ∫ d 。 解 将 f x x a ( ) = − 1 看成是 ~ f u( ) u = 1 和uxa = − 的复合函数，因为 d d ( ) xa x − = ，所以 x xa ( ) xa xa − = − − ∫ ∫ d d （作变量代换uxa = − ） u u = ∫ d = ln | | u C+ （用uxa = − 代回） = ln | | xa C − +
例621求「 解将f(x)=xa看成是/()=和a=x-的复合函数,因为 d(x-a)=dx,所以 dx X-a (作变量代换u=x-a) xX-a In u+c 用u=x-a代回) In x-a+c 同理可以求出 n (x-a) 1(x-a) 和 dx C 2ax-a Jx+a 2a x
同理可以求出 1 1 1 ( ) 1( ) n n x C xa n xa − = −⋅ + − −− ∫ d （n > 1） 和 2 2 x x a − ∫ d 12 x x a xa xa ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − + ∫ ∫ d d C ax ax a + +− = ln 21 。 例 6.2.1 求 x x a − ∫ d 。 解 将 f x x a ( ) = − 1 看成是 ~f u( ) u = 1 和uxa = − 的复合函数，因为 d d ( ) xa x − = ，所以 x xa ( ) xa xa − = − − ∫ ∫ d d （作变量代换uxa = − ） u u = ∫ d = ln | | u C+ （用uxa = − 代回） = ln | | xa C − +
例622求∫ dx x+a 解 d 作变量代换u=-) x+a 1+(a)2a11+(a) du arc tanu+C (用=代回) 1+l arc tan -+o 同理可以求出 x arc sin-+C。 d -x
例 6.2.2 求 2 2 x x a + ∫ d 。 解 22 2 2 2 1 1 ( ) 1 () 1 () xa x x a a x x xa a a = = ++ + ∫ ∫∫ d d d （作变量代换 u xa = ） 2 1 1 u a u = + ∫ d Cu a = tanarc + 1 （用u xa = 代回） C a x a = tanarc + 1 。 同理可以求出 2 2 x a x − ∫ d = + arcsin xa C