么西工大理院 证当由a增大到尸时,L上的点由A到b描出L L上的点A=M,M,M2…Mn=B 把L分为m段,各分点的参数值依次为 B a=t0<1<2…<tn=β 由定义 5,n)/M M n f(x,y)ds=im∑∫ nias A M JL λ-0 ∑ (Sig 0 i=1 由弧长的计算公式4=、@()+y(yt 由定积分中值定理4=02(r)+v2()A t1St1≤t1,1=t1-t1 由f(x,y)在L上连续,故在L上可积
江西理工大学理学院 当t由α 增大到β 时, L上的点由A到B描出L L上的点A = M0 ,M1 ,M2LMn = B 把L分为n段,各分点的参数值依次为 α = t0 < t1 < t2L< tn = β o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) ξi ηi L 由定义 ∫ ∑ = → = n i i i i L f x y ds f s 1 0 ( , ) lim (ξ ,η )∆ λ 由弧长的计算公式 ∫ − = ′ + ′ i i t t i s t t dt 1 ( ) ( ) 2 2 ∆ ϕ ψ 由定积分中值定理 i i i i ∆s ϕ (τ ) ψ (τ )∆t 2 2 = ′ + ′ 1 1 , i− ≤ i ≤ i i = i − i− t τ t ∆t t t 由f ( x, y)在L上连续,故在L上可积, 证
江画工太猩院 不妨设(,m对应t=, 5;=p(c;) (5,m)在L上,满足L的参数方程, 7=y(t7) 把1=92()+(业25:9) n=v() 代入(,)=m∑(,)1 几→ 「/()= im∑2v(Gk02(G)+2(r =1O(9(0)+y(y
江西理工大学理学院 ( , ) , i i i 不妨设 ξ η 对应 t = τ ( , ) 在 L 上 ,满足 L的参数方程 , ξ i η i ⎩ ⎨ ⎧ = = ∴ ( ) ( ) i i i i η ψ τ ξ ϕ τ i i i i ∆s ϕ (τ ) ψ (τ ) ∆t 2 2 把 = ′ + ′ ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) i i i i η ψ τ ξ ϕ τ 及 ∫ ∑= → = n i i i i L f x y ds f s 1 0 ( , ) lim (ξ ,η ) ∆ λ 代入 i i i n i i i L f t f x y ds ϕ τ ψ τ ϕ τ ψ τ ∆ λ lim [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( , ) 2 2 1 0 ′ + ′ = ∑ ∫ = → f [ ( t), ( t ) ] ( t ) ( t )dt 2 2 ϕ ψ ϕ ψ β α = ′ + ′ ∫
江画工太猩院 f(, y xds=[flo(t),y(tNo(0)+y(t)dt 可见要计算」∫(x,y), L 先写出L的参数方程,x=() y=y(t) 找出参变量的变化区间,≤tSβ 求出ds的表达式d=p2(t+y(t 代入上式,求出定积分
江西理工大学理学院 f x y ds f t t t t dt L∫ ∫ ∴ = ′ + ′ βα ( , ) [ϕ( ),ψ ( )] ϕ ( ) ψ ( ) 2 2 可见,要计算 ( , ) , ∫ L f x y ds 先写出L的参数方程, ⎩⎨⎧ == ( ) ( ) y t x t ψϕ 找出参变量t的变化区间, α ≤ t ≤ β 求出ds的表达式 ds (t) (t)dt 2 2 = ϕ′ +ψ′ 代入上式,求出定积分