江画猩工式塑辱院 2存在条件 当f(x,p)在光滑曲线弧L上连续时, 对孤长的曲线积分(x)d存在 3推广 函数∫(x,y,)在空间曲线弧r上对弧长的 曲线积分为 f(x, 1, ) ds=li i2/5,n25)△ λ→04
江西理工大学理学院 2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存在 当 在光滑曲线弧 上连续时 ∫L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函数 f (x, y,z)在空间曲线弧 Γ上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds = ∑ f ⋅ ∆s ∫ = Γ → ξ η ζ λ
江画工太猩院 注意 1.若L(或厂是分段光滑的,(L=L1+L2) 1()xy)+x 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为(x,y
江西理工大学理学院 注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或Γ 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 ∫ ∫ ∫ = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) ∫L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函数 在闭曲线 上对弧长的
江画工太猩院 4性质 )JU/()8)d=(xD士8 (2)(x,y)d=kf(x,ys(k为常数) L (3),f(x,y)=,f(x,y)ds+,f(x,y)d. (L=L1+L2
江西理工大学理学院 4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . ∫ ∫ ∫ ± = ± L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). ∫L ∫L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 ∫ ∫ ∫ = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2
江画工太猩院 求下列曲线积分的值 1.L:xoy面上的曲线:x2+y2=4, 则4=16 L 2.L:xm面上的曲线:x2+y2=4, 则 (x2+y2)d=16兀 3.L:连接点(10),(0)的直线段 则∫(x+y)=2
江西理工大学理学院 求下列曲线积分的值 1. : : 4 , 2 2 L xoy面上的曲线 x + y = = ∫L 则 4ds 3. L:连接点 ( 1 , 0), ( 0 , 1 )的直线段 ∫ + = L 则 ( x y )ds 2. : : 4 , 2 2 L xoy面上的曲线 x + y = + = ∫L ( x y )ds 则 2 2 16π 16π 2
江画工太猩院 三、对狐长曲线积分的计算 定理设∫(x,y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为X=(, (a≤t≤)其中 (),y(0)在[a,B上具有一阶连续导数,则 .f(r, yd=co ∫p(,y(lN@()+y(tt a<
江西理工大学理学院 三、对弧长曲线积分的计算 定理 ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] , ( ) ( ), ( ), ( , ) , 2 2 α β ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ α β α β ψ ϕ β α < = ′ + ′ ≤ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ = = ∫ ∫ f x y ds f t t t t dt t t t y t x t L f x y L L 在 上具有一阶连续导数 则 的参数方程为 其中 设 在曲线弧 上有定义且连续