中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter2（1-4）矩阵的初等变换与标准形，矩阵的秩

定义4 100 00 010 00 E 形如l= 00 000 00 000 00 的矩阵,称为标准形矩阵 定理1.任何矩阵A可以只用初等行变换化成阶梯形矩阵 定理2.任何矩阵A可以用初等变换化成标准形矩阵. 定理3.初等变换不改变方阵的可逆性与不可逆性 定理4.n阶方阵A可逆台AE K心

定义4. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0                       =      =                           O O E O I 形如 r 的矩阵，称为标准形矩阵. 定理1. 任何矩阵A可以只用初等行变换化成阶梯形矩阵. 定理2. 任何矩阵A可以用初等变换化成标准形矩阵. 定理3. 初等变换不改变方阵的可逆性与不可逆性. 定理4. n阶方阵A可逆  A  E

三.初等矩阵 定义5由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵 对调两行或两列; 2以数k≠0乘某行或某列; 3以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去 注意:(1)初等矩阵都是方阵; (2)每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵: K心

三.初等矩阵 定义5 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 注意：(1) 初等矩阵都是方阵； (2) 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵: 三种初等变换对应着三种初等方阵.       以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1

1对调两行或两列 对调E中第i两行,即(分r),得初等方阵 ←第i行 E(i,j) 第j行 E(i,j) K心

对调 E 中第 i, j 两行，即(ri  rj )，得初等方阵 1、对调两行或两列                                   = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , )        E i j  第 i 行  第 j 行 E(i, j) = −1

用m阶初等矩阵En(,j左乘A=(an)mn,得 2 i2 Em(i,ja 0 2 K心

用m 阶初等矩阵Em (i, j) 左乘 A = (aij)mn，得                                   = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , )        Em i j A                       m m mn j j jn i i in n a a a a a a a a a a a a              1 2 1 2 1 2 11 12 1