102 n2-2n 102 如A=2102-+01-40 1213 0234 1021 1000 r3-2n 01-40|=B-0100=C 00114 0010 定义3.如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与B等价,记作AB K心
− = 1 2 1 3 2 1 0 2 1 0 2 1 如 A ⎯⎯⎯→ + − 3 1 2 2 1 r r r r − 0 2 3 4 0 1 4 0 1 0 2 1 ⎯⎯⎯→ 3−2 2 r r B = − 0 0 11 4 0 1 4 0 1 0 2 1 . 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 C = ⎯→ 定义3. 就称矩阵 与 等价,记作 . 如果矩阵 经有限次初等变换变成矩阵 , A B A B A B
等价关系的性质 (1)反身性AA; (2)对称性若A≈B,则B≈A; (3)传递性若AsB,BsC,则A≈C. K心
等价关系的性质: (1) 反身性 A A; (2) 对称性 若 A B ,则 B A; (3)传递性 若 A B,B C,则 A C
二矩阵的标准形 10-1012-1121-12 021,0001,00102 0031000000023 都是阶梯形矩阵. 0-104 阶梯形矩阵的特点 0①-103 (1)可划出一条阶梯线, 000①-3 线的下方全为零; 0000 (2)每个台阶只有一行, 台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的 第一个元素为非零元,即非零行的第一个非零元 K心
二.矩阵的标准形 . 0 0 0 2 3 0 0 1 0 2 1 2 1 1 2 , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 1 , 0 0 3 0 2 1 1 0 1 都是阶梯形矩阵 − − − 阶梯形矩阵的特点: (1)可划出一条阶梯线, 线的下方全为零; − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 4 (2)每个台阶只有一行, 台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的 第一个元素为非零元,即非零行的第一个非零元
0-12-3 20-311 exl化矩阵为阶梯形,其中A 32-403 10-3-56 Solution 1035 20-311 A n4)-n 32-403 0-12-31 1035 6 2 r3+3n 00-9-913 02515-15 0 23 K心
. 1 0 3 5 6 3 2 4 0 3 2 0 3 1 1 0 1 2 3 1 1. , − − − − − − − − ex 化矩阵为阶梯形 其中 A = Solution. ⎯⎯ ⎯→ 1− 4 r r A − − − − − − 0 1 2 3 1 3 2 4 0 3 2 0 3 1 1 1 0 3 5 6 ⎯⎯⎯→ + − 3 1 2 1 3 2 r r r r − − − − − − 0 1 2 3 1 0 2 5 15 15 0 0 9 9 13 1 0 3 5 6
1035 n2(>r 01-23 5-2 02515-15 00-9-913 103 1035-6 01-2 539 r4+f3 01-23-1 3 0099-13 00-9-913 00000 10000 (阶梯形矩阵) 列变换、01000 00100(标准形) 00000 K心
⎯⎯⎯→ 2 4 r r − − − − − − 0 0 9 9 13 0 2 5 15 15 0 1 2 3 1 1 0 3 5 6 ⎯⎯⎯→ 3−2 2 r r − − − − − − 0 0 9 9 13 0 0 9 9 13 0 1 2 3 1 1 0 3 5 6 − − − − ⎯⎯⎯→ + 0 0 0 0 0 0 0 9 9 13 0 1 2 3 1 1 0 3 5 6 4 3 r r (阶梯形矩阵) ⎯⎯ ⎯→ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 列变换 (标准形)