第章导数与微分 高等数学少学时 第三节右阶导数 高阶导数的概念 二、高阶导数举例 北京邮电大学出版社
1 第三节 高阶导数 一、 高阶导数的概念 二、 高阶导数举例
第东章 导数与微分 高等数学少学时 高阶导数的概念 若y=f)的导数y=fx)仍然是可导函数，则导数y'=f'(x)的 导数叫做函数fx)的二阶导数，记作 y"或f"(x)或 dx 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导 数，叫做四阶导数，.(n-1)阶导数的导数，叫做阶导数.分别 记作： ,a) 或f"(x),f(x),…,m(x) 或 d d"y dk3’ dx" 北京邮电大学出版社
2 一、 高阶导数的概念 若y=f (x)的导数y'=f '(x)仍然是可导函数，则导数y'=f '(x)的 导数叫做函数f (x)的二阶导数，记作 y 2 2 dx d y ( ) y = y . 2 2 = dx dy dx d dx d y 或 即 或 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导 数，叫做四阶导数，…(n-1) 阶导数的导数，叫做n阶导数.分别 ( ) ( ) , , , 4 n y y y , , , . 4 4 3 3 n n dx d y dx d y dx d y 记作: 或 f (x) 或 ( ), ( ), , ( ). (4) ( ) f x f x f x n 或
第东章 导数与微分 高等数学少学时 y=f)具有n阶导数，也说函数y=fx)为n阶可导. 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数. 例1设=c+b,求y”. 解y=4,y”=0 问题：四(P=?(xP=i (2)若=x”+41x++0n-1x+an, y(m)=? y=? 注n次多项式的n+1阶导数为零. 北京邮电大学出版社
3 y = f (x)具有n 阶导数，也说函数y = f (x)为n 阶可导. 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数. 例1 解 设y = ax + b,求y . y = a, (2) 若 , 1 1 0 1 n n n n y = a x + a x + + a − x + a − 问题： ? ( ) = n y ? ( 1) = n+ y y = 0 ( ) ( ) (1) = ? n n x ( ) ( ) x n! n n = 注 n次多项式的n+1阶导数为零
第东章 导数与微分 高等数学少学时 例2己知物体的运动规律为s(t)=Asin(ot+p),求物体运动的 加速度. 解物体运动的速度为 V= docoh 加速度为 d= dt -sm(ox+p) 北京邮电大学出版社 04
4 s(t) = Asin(t +), = = Acos(t +), dt ds v 例2 解 sin( ). 2 2 2 = = = −A t + dt d s dt dv a 已知物体的运动规律为 求物体运动的 加速度. 物体运动的速度为 加速度为
第东章 导数与微分 高等数学少学时 例3证明函数=√2x-x2满足y3y”+1=0. 证 2-2x y'= 1-x 2v2x-x2 V2x-x2 1-x y"= -v2x-g2-1-02x-2 2x-x2 -2x+x2-(1-x)2 -1 (2x-x2)W2x-x2 (2.x-x2)=y3 y3y"+1=0 北京邮电大学出版社 05
5 例 3 2 1 0. 2 3 证明函数y = x − x 满足y y + = 证 2 2 22 2 x xx y − − = 2 2 x x y − = 2 2 2 2 ( 2 ) 2 2 ( 1 ) x x x x x x x − − − + − − = 2 3 2 ( 2 ) 1 x − x − = 1 0 3 y y + = , 21 2 x xx−− = 2 21 ( 1 ) x xx x −− 2 − − − 2 x − x 31 y− =