例3讨论等比级数（又称几何级数） ∑aq”=a+ag+ag2+.+ag”+.(a≠0) n=0 (q称为公比)的敛散性， 解：1)若q≠1，则部分和 S.=a+ag+ag2+.+ag"-1-a-aq" 1-q 当g<1时，由于1img”=0,从而1mSn=g n->o0 因此级数收敛，其和为品 n→o0 当q>1时，由于limq”=o,从而lim Sn=oo, n→o n->oo 因此级数发散. 2009年7月27日星期一 7 目录 (上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 例3 讨论等比级数 (又称几何级数 ) )0( 2 0 ∑ ≠+++++= ∞ = aqaqaqaaqa n n n " " ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解 : 1) 若 q ≠ ,1 2 − 1 ++++= n n " qaqaqaaS q qaa n − − = 1 当 q < 1 时， = ,0lim→ ∞ n n 由 于 q 从而 q a n n S − → ∞ = 1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a − 当 q > 时,1 lim ∞= , → ∞ n n 由 于 q 从而 = ∞ ,lim→ ∞ n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为
2)若q=1,则 当q=1时，Sn=na>o,因此级数发散； 当q=-1时，级数成为 a-a+a-a+.+(-1)n-a+. n为奇数 因此 n为偶数 从而lim S不存在，因此级数发散. n-→oo 综合1)、2)可知，q<1时，等比级数收敛； q≥1时，等比级数发散. 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 2) 若 q = ,1 当 q = 时,1 n = anS 因此级数发散 ; 当 q −= 时,1 aaaa " )1( n − 1 a +−++−+− " 因此 ⎩ ⎨ ⎧ S n = n 为奇数 n 为偶数 从而 n n S ∞→ lim 综合 1) 、2)可知 , q < 1 时, 等比级数收敛 ; q ≥ 1 时, 等比级数发散 . 则 → ∞ , 级数成为 a, ,0 不存在 , 因此级数发散
二、收敛级数的基本性质 00 性质1若级数∑4n收敛于S,即S=∑4n,则各项 n=l n=1 00 乘以常数c所得级数∑c4n也收敛，其和为cS. n=l 证令5w2,则0，-立4-c5 k=1 k=1 lim on=c lim Sn=cS n-→o0 n-→o∞ 这说明∑cun收敛，其和为cS. n=] 说明：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 二、收敛级数的基本性质 性质1 若级数 ∑ ∞ n = 1 u n 收敛于 S , , 1 ∑ ∞ = = n n uS ∑ 则各项 乘以常数 c 所得级数 ∞ n = 1 n uc 也收敛 , , 1 证 : 令 ∑ = = n k kn uS 则 ∑ = = n k n k uc 1 σ , n = c S n n σ → ∞ ∴ lim = c S ∑ ∞ n = 1 n uc n n 这说明 收敛 , 其和为 c S . c S → ∞ = lim 说明 : 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 . 即 其和为 c S