2.存在条件：当P(x,y),Q(,y)在光滑曲线弧L 上连续时，第二类曲线积分存在. 3.组合形式 ∫P(x,)k+∫(x,) =∫P(x,y)dc+(x,y)=∫，F. 其中产=pi+O,=di+i. 注：函数f(x,y)在闭曲线L上对坐标的曲线 积分记为，P(x,)+(x,y)
2.存在条件： ( , ), ( , ) , . 当P x y Q x y L 在光滑曲线弧 上连续时 第二类曲线积分存在 3.组合形式 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . , . L L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy F dr F Pi Qj dr dxi dyj 其中 ( , ) ( , ) ( , ) . L P x y dx Q x y dy f x y L 注：函数 在闭曲线 上对坐标的曲线 积分记为
4.推广空间有向曲线弧工，∫Pk+Q+R. nP(x,z)k=im∑P(5,n,5)△x 2→0 i=1 0x,a=m205n,5)4 ∫nRx,3dk=m∑R5n,5)A 类似地 ∫Ptc+0+R=∫nA(x,z而 A(x,z)=P(x,z)i+Q(x,zj+Rx,八，2)k
4.推广 , . Pdx Qdy Rdz 空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz A x y z dr ( , , ) 0 1 0 1 0 1 ( , , ) lim ( , , ) ( , , ) lim ( , , ) ( , , ) lim ( , , ) . n i i i i i n i i i i i n i i i i i P x y z dx P x Q x y z dy Q y R x y z dz R z ， ， A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 类似地
5.性质 ()J,[a(c,)+B(x,y而 =a(化，以小面+(c,). (2)如果把L分成L,和L2,则 ∫，P+Q=∫，Pk+Q+∫P&+O. (3)设L是有向曲线弧，-L是与L方向相反的 有向曲线弧，则 」P(,y)d+(x,y)=-∫，P(x,y)+(xy) 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关
5.性质 1 2 1 2 (2) , . L L L L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 如果把 分成 和 则 (3) , , 设L L L 是有向曲线弧 是与 方向相反的 有向曲线弧 则 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy 1 2 1 2 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . L L L F x y F x y dr F x y dr F x y dr
三、对坐标的曲线积分的计算 定理设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧L上有定义且连 续，的参数方程为x=o 当参数t单调地由a变 y=w(t), 到B时，点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B, p(t),w()在以ax及B为端点的闭区间上具有一阶连 续导数，且p2(t)+y2(t)≠0，则曲线积分 JP(x,y)k+(x,y)存在，且
三、对坐标的曲线积分的计算 2 2 ( , ), ( , ) ( ), , ( ), , ( , ) , ( ), ( ) , ( ) ( ) 0, ( , ) ( , ) , L P x y Q x y L x t L t y t M x y L A L B t t t t P x y dx Q x y dy 设 在曲线弧 上有定义且连 续 的参数方程为 当参数 单调地由 变 到 时 点 从 的起点 沿 运动到终点 在以 及 为端点的闭区间上具有一阶连 续导数 且 则曲线积分 存在 且 定理
∫P(x,y)dk+(x,y) =S"iPI()v(()+Ql().v(tI(jd 证：假定当参数由变至B时，L上的点由A点 移至B点，在L上取一系列的点 A=M,M,M,M,M=B 设各分点对应参数为 x=t<4<.<tn-1<tn=B 根据定义∫，P(c,)dx=lim∑P(5,)△x 入>0 i=1
设各分点对应参数为 t L A B L 证：假定当参数 由 变至 时, 上的点由 点 移至 点,在 上取一系列的点 0 1 2 1 , , , , , A M M M M M B n n 根据定义 ( , ) ( , ) { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} L P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt