显然,下面两数列 {n2}:1,4,9 {(-1)2}:-1,1,-1,1 是发散数列。 无穷小量 极限为0的数列称为无穷小量,例如数列 都是 n-+ 无穷小量。 imxn=a兮{xn-a}是无穷小量
显然，下面两数列 {n2 }： 1，4，9，…，n2 ,… {( ) −1 n }: -1,1,-1,1,… 是发散数列。 无穷小量 极限为0 的数列称为无穷小量，例如数列 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧n1 , ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ + − 1)1( 2 n n 都是 无穷小量。 lim { } n n n x a xa →∞ = ⇔ − 是无穷小量
例22.2证明{q”}(0<qk1)是无穷小量。 证对任意给定的ε>0,要找正整数N,使得当n>N时,成 q"-0=|q"<E 对上式两边取对数,即得 Iga 为保证N为正整数,可取N=ma2g,则当n>N时,成立 lgl E q"-0=|q|"<|q|=E。 因此imq"=0,即{q"}是无穷小量 n→)
例2.2.2 证明{qn }( < q < 1||0 ) 是无穷小量。 证 对任意给定的ε > 0，要找正整数 N ，使得当n > N 时，成 立 |0| =−n q n q || < ε ， 对上式两边取对数，即得 n > ||lg lg q ε 。 为保证 N 为正整数，可取 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = 1, ||lglg max q N ε ,则当n > N 时，成立 |0| =−n q n q || < ||lg lg || q q ε = ε 。 因此 = 0lim ∞→ n n q ，即{ qn }是无穷小量
注 (1)根据前面对数列极限的定义的讨论,可以只考虑绝对值 很小的>0,不妨考虑任意给定的0<<则N可取为2, n>N时,成立q-0kE
注 （1）根据前面对数列极限的定义的讨论，可以只考虑绝对值 很小的ε > 0，不妨考虑任意给定的0 ε << q ,则 N 可取为 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ||lglgqε ，当 n > N 时，成立| 0| n q − < ε
注 (1)根据前面对数列极限的定义的讨论,可以只考虑绝对值 很小的>0,不妨考虑任意给定的0<6<,则N可取为g n>N时,成立q-0kE。 (2)根据数列极限的定义来证明某一数列收敛,其关键是对 任意给定的E>0寻找正整数N。在上面的两例题中,N都是通过 解不等式{xn-al<E而得出的。但在大多数情况下,这个不等式并 不容易解。实际上,数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳 的正整数N,所以在证明中常常对xn-d适度地做一些放大处理, 这是一种常用的技巧
（2）根据数列极限的定义来证明某一数列收敛，其关键是对 任意给定的 ε > 0寻找正整数 N 。在上面的两例题中， N 都是通过 解不等式 n x a − < ε 而得出的。但在大多数情况下，这个不等式并 不容易解。实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳 的正整数 N，所以在证明中常常对 适度地做一些放大处理， 这是一种常用的技巧。 n x − a 注 （1）根据前面对数列极限的定义的讨论，可以只考虑绝对值 很小的 ε > 0，不妨考虑任意给定的 0 ε << q ,则 N 可取为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ||lg lg q ε ，当 n > N 时，成立| 0| n q − < ε
例2.2.3设a>1,证明:lima=1。 证令√a=1+yn,yn>0(n=2,3,…) 应用二项式定理, (1+yn)=1+myn+ n(n-1) +…+y>1+n 2 便得到 =yn|<
例 2.2.3 设a > 1，证明：lim n→∞ a n = 1。 证 令 a y n = + n 1 , yn > 0 ( n = ,3,2 ")， 应用二项式定理， n n n n n n n nyyy nn ya ny +>++ − ++=+= 1 2 )1( 1)1( 2 " ， 便得到 −1 n a || n = y < a − n 1