注 (1)取以a为中心,E为半径的一个开区间(a-6,a+),称 它为点a的g邻域,记为O(a,E) O(a,E)={xa-E<x<a+}。 “当n>N时,成立|x-a|<E”表示数列中从N+1项起的所有 的项都落在点a的ε邻域中,即 xn∈O(a,E),n>N。 由于ε具有任意性,也就是说邻域O(a,)的长度可以任意收 缩。但不管收缩得多么小,数列一定会从某一项起全部落在这个 邻域中,所以不难理解,a必为这个数列的极限值
由于ε 具有任意性，也就是说邻域 aO ε ),( 的长度可以任意收 缩。但不管收缩得多么小，数列一定会从某一项起全部落在这个 邻域中，所以不难理解，a 必为这个数列的极限值。 注 （1）取以a 为中心，ε 为半径的一个开区间 − ε aa + ε ),( ，称 它为点a 的ε 邻域，记为 aO ε ),( ： aO ε ),( = |{ − ε < < axax + ε}。 “当n > N 时，成立｜ xn − a｜< ε ”表示数列中从 N +1项起的所有 的项都落在点a 的ε 邻域中，即 ( , ), n x Oa n N ∈ ε >
注 (2)在上述的定义中,E既是任意的,又是给定的。因为 有当ε确定时,才能找到相应的正整数N
注 （2）在上述的定义中，ε 既是任意的，又是给定的。因为只 有当ε 确定时，才能找到相应的正整数 N
注 (2)在上述的定义中,E既是任意的,又是给定的。因为 有当ε确定时,才能找到相应的正整数N。 (3)从极限的定义可知,一个数列{xn}收敛与否,收敛于哪 个数,与这一数列的前面有限项无关。也就是说,改变数列前面 的有限项,不影响数列的收敛性
（3）从极限的定义可知，一个数列{ } x n 收敛与否，收敛于哪 个数，与这一数列的前面有限项无关。也就是说，改变数列前面 的有限项，不影响数列的收敛性。 注 （2）在上述的定义中， ε 既是任意的，又是给定的。因为只 有当 ε 确定时，才能找到相应的正整数 N
例221证明数列"的极限为 n+3 证对任意给定的ε>0,要使 n+3 n+3 只须 n>--3 取N-[31+1,其中冈表示x的整数部分,则当n>N时,必 有n>2-3,于是成立 <8 n+3 +3
例2.2.1 证明数列 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧n + 3 n 的极限为1。 证 对任意给定的ε > 0，要使 1 3 − n + n = + 3 n 3 < ε ， 只须 3 3 −> ε n 。 取 1 3 +⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = ε N ,其中 x][ 表示 x 的整数部分，则当n > N 时，必 有 3 n 3 ε > − ，于是成立 1 3 − n + n = + 3 n 3 < ε
显然,下面两数列 {n2}:1,4,9 {(-1)2}:-1,1,-1,1 是发散数列
显然，下面两数列 { n 2 }： 1，4，9，…， n 2 ,… {( ) − 1 n }: -1,1,-1,1,… 是发散数列