例2.2.3设a>1,证明:lima=1。 证令%a=1+yn,yn>0(n=2,3,…), 应用二项式定理, n(n (1+yn)"=1+myn+ +…+>1+n 2 便得到 √a-1=yn|< 于是,对于任意给定的E>0,取N ,当n>N时,成立 <E 因此 n→)0
例 2.2.3 设a > 1，证明：lim n→∞ a n = 1。 证 令 a y n = + n 1 , yn > 0 ( n = ,3,2 ")， 应用二项式定理， n n n n n n n nyyy nn ya ny +>++ − ++=+= 1 2 )1( 1)1( 2 " ， 便得到 −1 n a || n = y < a − n 1 。 于是，对于任意给定的ε > 0，取 a 1 N ε ⎡ − ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，当n > N 时，成立 −1 n a < a − n 1 < ε 。 因此 lim n→∞ a n = 1
例2.24证明:imn=1。 n→)0 证令n=1+yn,y>0(n=2,3,…),应用二项式定理得 n=(1+yn)=1+my n(n-1) 即得到 K=14y n 于是,对于任意给定的E>0,取N ,当n>N时,成立 <1-<E n 因此 lim 1n=1。 n→
例2.2.4 证明： lim n→∞ n n = 1。 证 令 n y n = + n 1 , yn > 0 ( n = ,3,2 ")，应用二项式定理得 2 2 2 )1( 1 2 )1( 1)1( n n n n n n n y nn yy nn nyyn − +>++ − ++=+= " ， 即得到 −1 n n || n = y n 2 < 。 于是，对于任意给定的ε > 0，取 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = 22ε N ，当n > N 时，成立 −1 n n < 2 n < ε 。 因此 lim n→∞ n n = 1